Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 19/latex
\setcounter{section}{19}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {zweite Fundamentalmatrix}{}{} \definitionsverweis {symmetrisch}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbeledisp {\psi} {\R^2} {\R } {(x,y)} { x^2-xy-y^3 } {,} und sei $Y$ der \definitionsverweis {Graph}{}{} zu $\psi$ mit dem nach oben gerichteten \definitionsverweis {Einheitsnormalenfeld}{}{} und \maabbdisp {\varphi = \operatorname{Id} \times \psi} {\R^2} {Y } {} die Parametrisierung des Graphen. Bestimme die \definitionsverweis {zweite Fundamentalmatrix}{}{} zu $\varphi$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbeledisp {\psi} {\R^2} {\R } {(x,y)} { e^{xy} -x^2y^3 \sin \left( x-y^2 \right) } {,} und sei $Y$ der \definitionsverweis {Graph}{}{} zu $\psi$ mit dem nach oben gerichteten \definitionsverweis {Einheitsnormalenfeld}{}{} und \maabbdisp {\varphi = \operatorname{Id} \times \psi} {\R^2} {Y } {} die Parametrisierung des Graphen. Bestimme die \definitionsverweis {zweite Fundamentalmatrix}{}{} zu $\varphi$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Einheitskugeloberfläche mit dem nach außen zeigenden \definitionsverweis {Einheitsnormalenfeld}{}{} und der Parametrisierung \maabbeledisp {\varphi} {[0, 2 \pi] \times [-1,1]} {\R^3 } {(u,v)} {\left( \sqrt{1-v^2} \cos u , \, \sqrt{1-v^2} \sin u , \, v \right) } {,} siehe Beispiel 17.6. Bestimme die \definitionsverweis {zweite Fundamentalmatrix}{}{} zu $\varphi$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Einheitskugeloberfläche mit dem nach außen zeigenden \definitionsverweis {Einheitsnormalenfeld}{}{} und der Parametrisierung \maabbeledisp {\varphi} {[0, 2 \pi] \times \R} {\R^3 } {(u,v)} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{1+v^2} } } ( \cos u , \sin u , v ) } {,} siehe Beispiel 17.7. Bestimme die \definitionsverweis {zweite Fundamentalmatrix}{}{} zu $\varphi$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{} bezüglich der Basis $\partial_1 \varphi, \partial_2 \varphi$ für die verschiedenen Parametrisierungen $\varphi$ der Einheitskugel aus Beispiel 17.6, Beispiel 17.7 und Beispiel 17.8.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Gaußkrümmung}{}{} der Einheitskugel mit Hilfe der verschiedenen Parametrisierungen $\varphi$ aus Beispiel 17.6, Beispiel 17.7 und Beispiel 17.8 unter Verwendung von Lemma 19.3 (4).
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $Y$ eine \definitionsverweis {Kurve}{}{} im $\R^2$. Bringe die \definitionsverweis {Krümmung}{}{} mit der \definitionsverweis {zweiten Fundamentalmatrix}{}{} in Verbindung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {orientierte Fläche}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {Y
} {,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von $Y$ mit den Parametern $u,v$. Es sei
\mathl{{ \left( g_{ij} \right) }}{} die
\definitionsverweis {erste Fundamentalmatrix}{}{}
auf $V$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Gaußsche Krümmung}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \left( g_{11} g_{22} -g_{12}^2 \right) }^2 } } { \left( \det \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } \partial_2^2 g_{11} + \partial_1 \partial_2 g_{12} - { \frac{ 1 }{ 2 } } \partial_1^2 g_{22} & { \frac{ 1 }{ 2 } } \partial_1 g_{11} & \partial_1 g_{12} - { \frac{ 1 }{ 2 } } \partial_2 g_{11} \\ \partial_2 g_{12} -{ \frac{ 1 }{ 2 } } \partial_1 g_{22} & g_{11} & g_{12} \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } \partial_2 g_{22} & g_{12} & g_{22} \end{pmatrix} - \det \begin{pmatrix} 0 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \partial_2 g_{11} & { \frac{ 1 }{ 2 } } \partial_1 g_{22} \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } \partial_2 g_{11} & g_{11} & g_{12} \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } \partial_1 g_{22} & g_{12} & g_{22} \end{pmatrix} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei \maabbeledisp {\psi} {\R^2} {\R } {(x,y)} { x^3-2x^2y-7xy^3+x^2y^2+5y^4 } {,} und sei $Y$ der \definitionsverweis {Graph}{}{} zu $\psi$ mit dem nach oben gerichteten \definitionsverweis {Einheitsnormalenfeld}{}{} und \maabbdisp {\varphi = \operatorname{Id} \times \psi} {\R^2} {Y } {} die Parametrisierung des Graphen. Bestimme die \definitionsverweis {zweite Fundamentalmatrix}{}{} zu $\varphi$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten die Einheitskugeloberfläche mit dem nach außen zeigenden \definitionsverweis {Einheitsnormalenfeld}{}{} und der Parametrisierung \maabbeledisp {\varphi} {{]{- { \frac{ \pi }{ 2 } }}, { \frac{ \pi }{ 2 } } [} \times {]{-\pi}, \pi[} } {\R^3 } {(u,v)} {(\cos u \cos v , \cos u \sin v , \sin u ) } {,} siehe Beispiel 17.8. Bestimme die \definitionsverweis {zweite Fundamentalmatrix}{}{} zu $\varphi$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5 (2+1+1+1)}
{
Es sei
\maabb {\gamma} {]a,b[} { \R^2
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {bogenparametrisierte}{}{}
injektive Kurve mit der Bildkurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C
}
{ \subseteq} { V
}
{ \subseteq} { \R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die in der offenen Teilmenge $V$ abgeschlossen sei. Wir betrachten den Zylinder über diesen Kurven, also die Abbildung
\maabbdisp {\varphi = \gamma \times
\operatorname{Id}_{ \R }} {]a,b[ \times \R } { C \times \R
} {.}
\aufzaehlungvier{Berechne die
\definitionsverweis {erste}{}{}
und die
\definitionsverweis {zweite Fundamentalmatrix}{}{}
von $\varphi$,
}{Berechne die
\definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{}
bezüglich der Basis $\partial_1 \varphi, \partial_2 \varphi$.
}{Berechne die
\definitionsverweis {Hauptkrümmungen}{}{}
von $C \times \R$.
}{Berechne die
\definitionsverweis {Gaußkrümmung}{}{}
von $C \times \R$.
}
}
{} {}