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Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 19

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die zweite Fundamentalmatrix symmetrisch ist.


Aufgabe

Es sei

und sei der Graph zu mit dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld und

die Parametrisierung des Graphen. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu .


Aufgabe

Es sei

und sei der Graph zu mit dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld und

die Parametrisierung des Graphen. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu .


Aufgabe

Wir betrachten die Einheitskugeloberfläche mit dem nach außen zeigenden Einheitsnormalenfeld und der Parametrisierung

siehe Beispiel 17.6. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu .


Aufgabe

Wir betrachten die Einheitskugeloberfläche mit dem nach außen zeigenden Einheitsnormalenfeld und der Parametrisierung

siehe Beispiel 17.7. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu .


Aufgabe

Bestimme die Weingartenabbildung bezüglich der Basis für die verschiedenen Parametrisierungen der Einheitskugel aus Beispiel 17.6, Beispiel 17.7 und Beispiel 17.8.


Aufgabe

Bestimme die Gaußkrümmung der Einheitskugel mit Hilfe der verschiedenen Parametrisierungen aus Beispiel 17.6, Beispiel 17.7 und Beispiel 17.8 unter Verwendung von Lemma 19.3  (4).


Aufgabe

Es sei eine Kurve im . Bringe die Krümmung mit der zweiten Fundamentalmatrix in Verbindung.



Aufgabe

Es sei eine orientierte Fläche und sei

, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von mit den Parametern . Es sei die erste Fundamentalmatrix auf . Zeige, dass die Gaußsche Krümmung die Beziehung

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

und sei der Graph zu mit dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld und

die Parametrisierung des Graphen. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu .


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Einheitskugeloberfläche mit dem nach außen zeigenden Einheitsnormalenfeld und der Parametrisierung

siehe Beispiel 17.8. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu .


Aufgabe (5 (2+1+1+1) Punkte)

Es sei eine differenzierbare bogenparametrisierte injektive Kurve mit der Bildkurve

die in der offenen Teilmenge abgeschlossen sei. Wir betrachten den Zylinder über diesen Kurven, also die Abbildung

  1. Berechne die erste und die zweite Fundamentalmatrix von ,
  2. Berechne die Weingartenabbildung bezüglich der Basis .
  3. Berechne die Hauptkrümmungen von .
  4. Berechne die Gaußkrümmung von .




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