Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 19

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die zweite Fundamentalmatrix symmetrisch ist.

Aufgabe

Es sei

$\psi :{ℝ}^2⟶ℝ,(x,y)⟼x^2-xy-y^3,$

und sei $Y$ der Graph zu $\psi$ mit dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld und

$\phi =\mathrm{Id}\times \psi :{ℝ}^2⟶Y$

die Parametrisierung des Graphen. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu $\phi$.

Aufgabe

Es sei

$\psi :{ℝ}^2⟶ℝ,(x,y)⟼e^{xy}-x^2{y}^3\sin (x-y^2),$

und sei $Y$ der Graph zu $\psi$ mit dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld und

$\phi =\mathrm{Id}\times \psi :{ℝ}^2⟶Y$

die Parametrisierung des Graphen. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu $\phi$.

Aufgabe

Wir betrachten die Einheitskugeloberfläche mit dem nach außen zeigenden Einheitsnormalenfeld und der Parametrisierung

$\phi :[0,2\pi ]\times [-1,1]⟶{ℝ}^3,(u,v)⟼(\sqrt{1-v^2}\cos u,\sqrt{1-v^2}\sin u,v),$

siehe Beispiel 17.6. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu $\phi$.

Aufgabe

Wir betrachten die Einheitskugeloberfläche mit dem nach außen zeigenden Einheitsnormalenfeld und der Parametrisierung

$\phi :[0,2\pi ]\times ℝ⟶{ℝ}^3,(u,v)⟼\frac{1}{\sqrt{1+v^2}}(\cos u,\sin u,v),$

siehe Beispiel 17.7. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu $\phi$.

Aufgabe

Bestimme die Weingartenabbildung bezüglich der Basis ${\partial }_1\phi ,{\partial }_2\phi$ für die verschiedenen Parametrisierungen $\phi$ der Einheitskugel aus Beispiel 17.6, Beispiel 17.7 und Beispiel 17.8.

Aufgabe

Bestimme die Gaußkrümmung der Einheitskugel mithilfe der verschiedenen Parametrisierungen $\phi$ aus Beispiel 17.6, Beispiel 17.7 und Beispiel 17.8 unter Verwendung von Lemma 19.3  (4).

Aufgabe

Es sei $Y$ eine Kurve im ${ℝ}^2$. Bringe die Krümmung mit der zweiten Fundamentalmatrix in Verbindung.

Aufgabe

Es sei  $Y\subseteq {ℝ}^3$  eine orientierte Fläche und sei

$\phi :V⟶Y,$

 $V\subseteq {ℝ}^2$,  eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von $Y$ mit den Parametern $u,v$. Es sei $\left(g_{ij}\right)$ die erste Fundamentalmatrix auf $V$. Zeige, dass die Gaußsche Krümmung die Beziehung

$K=\frac{1}{{(g_{11}{g}_{22}-g_{12}^2)}^2}(det\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}{\partial }_2^2{g}_{11}+{\partial }_1{\partial }_2{g}_{12}-\frac{1}{2}{\partial }_1^2{g}_{22}& \frac{1}{2}{\partial }_1{g}_{11}& {\partial }_1{g}_{12}-\frac{1}{2}{\partial }_2{g}_{11}\\ {\partial }_2{g}_{12}-\frac{1}{2}{\partial }_1{g}_{22}& g_{11}& g_{12}\\ \frac{1}{2}{\partial }_2{g}_{22}& g_{12}& g_{22}\end{array}\right)-det\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}{\partial }_2{g}_{11}& \frac{1}{2}{\partial }_1{g}_{22}\\ \frac{1}{2}{\partial }_2{g}_{11}& g_{11}& g_{12}\\ \frac{1}{2}{\partial }_1{g}_{22}& g_{12}& g_{22}\end{array}\right))$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

$\psi :{ℝ}^2⟶ℝ,(x,y)⟼x^3-2x^{2}y-7x{y}^3+x^2{y}^2+5y^4,$

und sei $Y$ der Graph zu $\psi$ mit dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld und

$\phi =\mathrm{Id}\times \psi :{ℝ}^2⟶Y$

die Parametrisierung des Graphen. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu $\phi$.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Einheitskugeloberfläche mit dem nach außen zeigenden Einheitsnormalenfeld und der Parametrisierung

$\phi :]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[\times ]-\pi ,\pi [⟶{ℝ}^3,(u,v)⟼(\cos u\cos v,\cos u\sin v,\sin u),$

siehe Beispiel 17.8. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu $\phi$.

Aufgabe (5 (2+1+1+1) Punkte)

Es sei $\gamma :]a,b[\to {ℝ}^2$ eine differenzierbare bogenparametrisierte injektive Kurve mit der Bildkurve

$C\subseteq V\subseteq {ℝ}^2,$

die in der offenen Teilmenge $V$ abgeschlossen sei. Wir betrachten den Zylinder über diesen Kurven, also die Abbildung

$\phi =\gamma \times {\mathrm{Id}}_{ℝ}:]a,b[\times ℝ⟶C\times ℝ.$

1. Berechne die erste und die zweite Fundamentalmatrix von $\phi$,
2. Berechne die Weingartenabbildung bezüglich der Basis ${\partial }_1\phi ,{\partial }_2\phi$.
3. Berechne die Hauptkrümmungen von $C\times ℝ$.
4. Berechne die Gaußkrümmung von $C\times ℝ$.