Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 8/latex
\setcounter{section}{8}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {}
eine Abbildung. Es sei
\mathl{M= \bigcup_{i \in I} U_i}{} eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
von $M$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist, wenn alle Einschränkungen
\mathl{\varphi_i= \varphi {{|}}_{U_i}}{} differenzierbar sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\maabbdisp {\alpha} {U} {V
} {}
eine Karte
\zusatzklammer {also
\mathl{U \subseteq M}{} und
\mathl{V \subseteq \R^n}{} offen} {} {.}
Zeige, dass $\alpha$ ein
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und
\maabbdisp {f,g} {M} {\R
} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{} auf $M$. Beweise die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvier{Die Abbildung
\maabbeledisp {f \times g} {M} {\R^2
} {x} {(f(x),g(x))
} {,} ist differenzierbar.
}{$f+g$ ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{.}
}{$f \cdot g$ ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{.}
}{Wenn $f$ keine Nullstelle besitzt, so ist auch
\mathl{f^{-1}}{} differenzierbar.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{S^2 \subseteq \R^3}{} die
\definitionsverweis {Sphäre}{}{.}
Zeige unter Verwendung der
\definitionsverweis {stereographischen Karten}{}{,}
dass die Einschränkungen der Koordinaten
\mathl{x,y,z}{} des Raumes auf die Sphäre
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Zeige, dass dies einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\varphi^*} {C^1(N,\R)} {C^1(M,\R) } {f} {f \circ \varphi } {,} induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zu
\mathl{m \leq n}{} die Einbettung des Unterraumes
\mathl{\R^m}{} in den $\R^n$, die durch
\mathl{(x_1 , \ldots , x_m) \mapsto (x_1 , \ldots , x_m,0 , \ldots , 0)}{} gegeben ist,
\definitionsverweis {beliebig oft differenzierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die offene Zylinderoberfläche
\mathl{S^1 \times {]0,1[}}{} zu
\mathl{S^1 \times \R}{,} zur punktierten Ebene
\mathl{\R^2 \setminus \{(0,0)\}}{} und zu
\mathl{S^2 \setminus \{N,S\}}{}
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{}
ist.
}
{} {}
Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition.
Eine Funktion
\maabbdisp {f} {{\mathbb K}^n} { {\mathbb K}
} {}
heißt
\definitionswort {homogen vom Grad}{}
$d$, wenn für jeden Punkt
\mathl{P \in {\mathbb K}^n}{} und jedes
\mathl{\lambda \in {\mathbb K}}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(\lambda P)
}
{ =} { \lambda^d f(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R^n} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {homogene Funktion}{}{,}
die in der
\definitionsverweis {Faser}{}{}
$F$ über
\mathl{a \neq 0}{}
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Zeige, dass jede Faser zu
\mathl{b \neq 0}{} eine zu $F$
\definitionsverweis {diffeomorphe}{}{} \definitionsverweis {Mannigfaltigkeit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{]a,b[}{} ein
\definitionsverweis {offenes Intervall}{}{}
und
\maabbdisp {f} {]a,b[} {\R_{+}
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.}
Es sei $M$ die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers. Zeige, dass diese Menge eine zu einem offenen Zylinder diffeomorphe Mannigfaltigkeit ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine Ellipsoidoberfläche und die Einheitssphäre $C^\infty$-\definitionsverweis {diffeomorph}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer
\definitionsverweis {zweidimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{} \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$ und einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mathkor {} {M} {und} {M \setminus \{P\}} {}
zueinander
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Antipodenabbildung}{}{} \maabbeledisp {} {S^n} {S^n } {(x_1 , \ldots , x_{n+1})} {(-x_1 , \ldots , -x_{n+1}) } {,} ein \definitionsverweis {fixpunktfreier}{}{} \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist, der zu sich selbst invers ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$ der Dimension
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unendlich viele
\definitionsverweis {Diffeomorphismen}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {M} {M
} {}
besitzt.
}
{} {}
Die folgenden Aufgaben sollen erläutern, warum man Mannigfaltigkeiten mit offenen Überdeckungen ansetzt.
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$. Man sagt, dass die Folge gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionswort {konvergiert}{,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jeder
\definitionsverweis {offenen Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $x$ gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_0
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Folgenglieder $x_n$ zu $U$ gehören.
In diesem Fall heißt $x$ der \definitionswort {Grenzwert}{} oder der \definitionswort {Limes}{} der Folge. Dafür schreibt man auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ =} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie \definitionswort {konvergiert}{}
\zusatzklammer {ohne Bezug auf einen Grenzwert} {} {,}
andernfalls, dass sie \definitionswort {divergiert}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $M$. Zeige, dass die Folge genau dann
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
wenn es ein
\definitionsverweis {Kartengebiet}{}{}
von $M$ gibt, das fast alle Glieder der Folge enthält und so, dass die entsprechende Bildfolge im Kartenbild konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\maabbdisp {\alpha_i} {U_i} {V_i
} {}
eine Familie von
\definitionsverweis {Karten}{}{}
mit den
\definitionsverweis {Übergangsabbildungen}{}{}
\maabbdisp {\varphi_{ij} = \alpha_j \circ (\alpha_i)^{-1}} {V_i \cap \alpha_i(U_i \cap U_j) } { V_j \cap \alpha_j(U_i \cap U_j)
} {.}
Zeige, dass man aus der Familie der
\mathbed {V_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
den Teilmengen
\mathl{V_{ij} \subseteq V_i}{} und den Übergangsabbildungen
\maabbdisp {\varphi_{ij}} {V_{ij}} { V_{ji}
} {}
die Mannigfaltigkeit $M$ rekonstruieren kann.
a) Betrachte auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ \defeq} { \biguplus_{i \in I} V_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{,}
unter der zwei Punkte
\mathl{P\in V_i}{} und
\mathl{Q \in V_j}{} gleich sind, wenn sie unter
\mathl{\varphi_{ij}}{} ineinander abgebildet werden.
b) Versehe die Quotientenmenge
\mathl{N/ \sim}{} mit einer geeigneten Topologie.
c) Definiere auf
\mathl{N/ \sim}{} Karten.
d) Zeige, dass \mathkor {} {M} {und} {N/ \sim} {} \definitionsverweis {homöomorph}{}{} sind.
}
{} {}
Das in der vorstehenden Aufgabe beschriebene Konstruktionsverfahren für eine Mannigfaltigkeit funktioniert für eine Familie von offenen Teilmengen im $\R^n$ mit Übergangsabbildungen, die die Kozykelbedingung aus Aufgabe 7.11 erfüllen. Allerdings ist der dabei entstehende topologische Raum nicht ohne weiteres ein Hausdorff-Raum. Man spricht vom \stichwort {offenen Verkleben} {} von Räumen.
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die reelle Gerade zweifach, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_1
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_2
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zusammen mit der Verklebungsabbildung
\maabbeledisp {\varphi} {G_1 \setminus \{0\} } {G_2 \setminus \{0\}
} {x} { x^{-1}
} {.}
Es sei $M$ der entstehende topologische Raum gemäß der in
Aufgabe 8.15
beschriebenen Konstruktion. Zeige, dass $M$
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
zur
$1$-\definitionsverweis {Sphäre}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die reelle Gerade zweifach, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_1
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_2
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zusammen mit der Verklebungsabbildung
\maabbdisp {\operatorname{Id}} {G_1 \setminus \{0\} } {G_2 \setminus \{0\}
} {.}
Es sei $M$ der entstehende topologische Raum gemäß der in
Aufgabe 8.15
beschriebenen Konstruktion. Zeige, dass $M$ keine
\definitionsverweis {Mannigfaltigkeit}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
In der folgenden Aufgabe interpretiere man ${\mathbb C}$ als $\R^2$.
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}^2} { {\mathbb C}
} {(z,w)} { zw
} {.}
Für welche Punkte
\mathl{u \in {\mathbb C}}{} ist die Faser über $u$ eine Mannigfaltigkeit? Man gebe jeweils eine möglichst einfache Beschreibung des Diffeomorphietyps.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es seien zwei Punkte \mathkor {} {P} {und} {Q} {} auf der \definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{} gegeben. Zeige, dass es einen \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} der Sphäre in sich gibt, der $P$ in $Q$ überführt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (1+1+2)}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{.}
Zu jeder offenen Teilmenge
\mathl{U \subseteq M}{} betrachten wir die Menge
\mathl{C^1(U,\R)}{} der
\definitionsverweis {differenzierbaren Funktionen}{}{}
auf $U$. Es sei
\mathl{M= \bigcup_{i \in I} U_i}{} eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass zu
\mathl{V \subseteq U}{} offen und
\mathl{f \in C^1(U,\R)}{} auch die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
$f {{|}}_V$ zu
\mathl{C^1(V,\R)}{} gehört.
}{Es sei
\mathl{f \in C^1(M,\R)}{.} Zeige, dass
\mathl{f=0}{} genau dann ist, wenn sämtliche Einschränkungen
\mathl{f {{|}}_{U_i} =0}{} sind.
}{Es sei eine Familie
\mathl{f_i \in C^1(U_i,\R)}{} von Funktionen gegeben, die die \anfuehrung{Verträglichkeitsbedingung}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_i {{|}}_{U_i \cap U_j}
}
{ =} { f_j {{|}}_{U_i \cap U_j}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i,j$ erfüllen. Zeige, dass es ein
\mathl{f \in C^1(M,\R)}{} gibt mit
\mathl{f {{|}}_{U_i} =f_i}{} für alle $i$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{,} die mindestens zwei Elemente besitze. Zeige, dass es
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{}
\maabbdisp {f,g} {M} {\R
} {} gibt mit
\mathl{f,g \neq 0}{,} aber
\mathl{fg=0}{.}
}
{} {}