Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 8

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$\phi :M⟶N$

eine Abbildung. Es sei $M=\bigcup _{i\in I}{U}_i$ eine offene Überdeckung von $M$. Zeige, dass $\phi$ genau dann differenzierbar ist, wenn alle Einschränkungen ${\phi }_i=\phi {|}_{U_i}$ differenzierbar sind.

Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$\alpha :U⟶V$

eine Karte (also $U\subseteq M$ und $V\subseteq {ℝ}^n$ offen). Zeige, dass $\alpha$ ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$f,g:M⟶ℝ$

differenzierbare Funktionen auf $M$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Die Abbildung

   $f\times g:M⟶{ℝ}^2,x⟼(f(x),g(x)),$

   ist differenzierbar.
2. $f+g$ ist differenzierbar.
3. $f\cdot g$ ist differenzierbar.
4. Wenn $f$ keine Nullstelle besitzt, so ist auch $f^{-1}$ differenzierbar.

Aufgabe

Es sei $S^2\subseteq {ℝ}^3$ die Sphäre. Zeige unter Verwendung der stereographischen Karten, dass die Einschränkungen der Koordinaten $x,y,z$ des Raumes auf die Sphäre differenzierbare Funktionen sind.

Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$\phi :M⟶N$

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus

${\phi }^{\ast }:C^1(N,ℝ)⟶C^1(M,ℝ),f⟼f\circ \phi ,$

induziert.

Aufgabe

Zeige, dass zu $m\le n$ die Einbettung des Unterraumes ${ℝ}^m$ in den ${ℝ}^n$, die durch $(x_1,\dots ,x_m)\mapsto (x_1,\dots ,x_m,0,\dots ,0)$ gegeben ist, beliebig oft differenzierbar ist.

Aufgabe

Zeige, dass die offene Zylinderoberfläche $S^1\times ]0,1[$ zu $S^1\times ℝ$, zur punktierten Ebene ${ℝ}^2\setminus \{(0,0)\}$ und zu $S^2\setminus \{N,S\}$ diffeomorph ist.

Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition.

Eine Funktion

$f:{𝕂}^n⟶𝕂$

heißt homogen vom Grad $d$, wenn für jeden Punkt  $P\in {𝕂}^n$  und jedes  $\lambda \in 𝕂$  die Beziehung

$f(\lambda P)={\lambda }^{d}f(P)$

gilt.

Aufgabe

Es sei

$f:{ℝ}^n⟶ℝ$

eine stetig differenzierbare homogene Funktion, die in der Faser $F$ über $a\ne 0$ regulär sei. Zeige, dass jede Faser zu $b\ne 0$ eine zu $F$ diffeomorphe Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe

Es sei $]a,b[$ ein offenes Intervall und

$f:]a,b[⟶{ℝ}_{+}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Es sei $M$ die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers. Zeige, dass diese Menge eine zu einem offenen Zylinder diffeomorphe Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine Ellipsoidoberfläche und die Einheitssphäre $C^{\mathrm{\infty }}$-diffeomorph sind.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer zweidimensionalen zusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ und einem Punkt  $P\in M$  derart, dass $M$ und $M\setminus \{P\}$ zueinander diffeomorph sind.

Aufgabe

Zeige, dass die Antipodenabbildung

$S^n⟶S^n,(x_1,\dots ,x_{n+1})⟼(-x_1,\dots ,-x_{n+1}),$

ein fixpunktfreier Diffeomorphismus ist, der zu sich selbst invers ist.

Aufgabe *

Zeige, dass eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ der Dimension  $n\ge 1$  unendlich viele Diffeomorphismen

$\phi :M⟶M$

besitzt.

Die folgenden Aufgaben sollen erläutern, warum man Mannigfaltigkeiten mit offenen Überdeckungen ansetzt.

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in einem topologischen Raum $X$. Man sagt, dass die Folge gegen  $x\in X$  konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jeder offenen Umgebung  $U\subseteq X$  von $x$ gibt es ein  $n_0\in \mathbb{N}$  derart, dass für alle  $n\ge n_0$  die Folgenglieder $x_n$ zu $U$ gehören.

In diesem Fall heißt $x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.

Aufgabe

Es sei $M$ eine topologische Mannigfaltigkeit und ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $M$. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn es ein Kartengebiet von $M$ gibt, das fast alle Glieder der Folge enthält und so, dass die entsprechende Bildfolge im Kartenbild konvergiert.

Aufgabe

Es sei $M$ eine topologische Mannigfaltigkeit und

${\alpha }_i:U_i⟶V_i$

eine Familie von Karten mit den Übergangsabbildungen

${\phi }_{ij}={\alpha }_j\circ ({\alpha }_i{)}^{-1}:V_i\cap {\alpha }_i(U_i\cap U_j)⟶V_j\cap {\alpha }_j(U_i\cap U_j).$

Zeige, dass man aus der Familie der $V_i$, $i\in I$, den Teilmengen $V_{ij}\subseteq V_i$ und den Übergangsabbildungen

${\phi }_{ij}:V_{ij}⟶V_{ji}$

die Mannigfaltigkeit $M$ rekonstruieren kann.

a) Betrachte auf

$N:=\underset{i\in I}{⨄}{V}_i$

die Äquivalenzrelation, unter der zwei Punkte $P\in V_i$ und $Q\in V_j$ gleich sind, wenn sie unter ${\phi }_{ij}$ ineinander abgebildet werden.

b) Versehe die Quotientenmenge $N/\sim$ mit einer geeigneten Topologie.

c) Definiere auf $N/\sim$ Karten.

d) Zeige, dass $M$ und $N/\sim$ homöomorph sind.

Das in der vorstehenden Aufgabe beschriebene Konstruktionsverfahren für eine Mannigfaltigkeit funktioniert für eine Familie von offenen Teilmengen im ${ℝ}^n$ mit Übergangsabbildungen, die die Kozykelbedingung aus Aufgabe 7.11 erfüllen. Allerdings ist der dabei entstehende topologische Raum nicht ohne weiteres ein Hausdorff-Raum. Man spricht vom offenen Verkleben von Räumen.

Aufgabe

Wir betrachten die reelle Gerade zweifach, also  $G_1=ℝ$  und  $G_2=ℝ$  zusammen mit der Verklebungsabbildung

$\phi :G_1\setminus \{0\}⟶G_2\setminus \{0\},x⟼x^{-1}.$

Es sei $M$ der entstehende topologische Raum gemäß der in Aufgabe 8.15 beschriebenen Konstruktion. Zeige, dass $M$ homöomorph zur $1$-Sphäre ist.

Aufgabe

Wir betrachten die reelle Gerade zweifach, also  $G_1=ℝ$  und  $G_2=ℝ$  zusammen mit der Verklebungsabbildung

$\mathrm{Id}:G_1\setminus \{0\}⟶G_2\setminus \{0\}.$

Es sei $M$ der entstehende topologische Raum gemäß der in Aufgabe 8.15 beschriebenen Konstruktion. Zeige, dass $M$ keine Mannigfaltigkeit ist.

Aufgaben zum Abgeben

In der folgenden Aufgabe interpretiere man $ℂ$ als ${ℝ}^2$.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

${ℂ}^2⟶ℂ,(z,w)⟼zw.$

Für welche Punkte $u\in ℂ$ ist die Faser über $u$ eine Mannigfaltigkeit? Man gebe jeweils eine möglichst einfache Beschreibung des Diffeomorphietyps.

Aufgabe (6 Punkte)

Es seien zwei Punkte $P$ und $Q$ auf der Einheitssphäre gegeben. Zeige, dass es einen Diffeomorphismus der Sphäre in sich gibt, der $P$ in $Q$ überführt.

Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zu jeder offenen Teilmenge  $U\subseteq M$  betrachten wir die Menge $C^1(U,ℝ)$ der differenzierbaren Funktionen auf $U$. Es sei  $M=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  eine offene Überdeckung.

a) Zeige, dass zu  $V\subseteq U$  offen und  $f\in C^1(U,ℝ)$  auch die Einschränkung $f{|}_V$ zu $C^1(V,ℝ)$ gehört.

b) Es sei  $f\in C^1(M,ℝ)$.  Zeige, dass  $f=0$  genau dann ist, wenn sämtliche Einschränkungen  $f{|}_{U_i}=0$  sind.

c) Es sei eine Familie  $f_i\in C^1(U_i,ℝ)$  von Funktionen gegeben, die die „Verträglichkeitsbedingung“

$f_i{|}_{U_i\cap U_j}=f_j{|}_{U_i\cap U_j}$

für alle $i,j$ erfüllen. Zeige, dass es ein  $f\in C^1(M,ℝ)$  gibt mit  $f{|}_{U_i}=f_i$  für alle $i$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die mindestens zwei Elemente besitze. Zeige, dass es differenzierbare Funktionen

$f,g:M⟶ℝ$

gibt mit $f,g\ne 0$, aber $fg=0$.