Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 8

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine Abbildung. Es sei ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung von ${}M$. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann differenzierbar ist, wenn alle Einschränkungen ${}\varphi _{i}=\varphi {|}_{U_{i}}$ differenzierbar sind.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

eine Karte (also ${}U\subseteq M$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen). Zeige, dass ${}\alpha$ ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$f,g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

differenzierbare Funktionen auf ${}M$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Die Abbildung

   $f\times g\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto (f(x),g(x)),$

   ist differenzierbar.
2. ${}f+g$ ist differenzierbar.
3. ${}f\cdot g$ ist differenzierbar.
4. Wenn ${}f$ keine Nullstelle besitzt, so ist auch ${}f^{-1}$ differenzierbar.

Aufgabe

Es sei ${}S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ die Sphäre. Zeige unter Verwendung der stereographischen Karten, dass die Einschränkungen der Koordinaten ${}x,y,z$ des Raumes auf die Sphäre differenzierbare Funktionen sind.

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus

$\varphi ^{*}\colon C^{1}(N,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{1}(M,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$

induziert.

Aufgabe

Zeige, dass zu ${}m\leq n$ die Einbettung des Unterraumes ${}\mathbb {R} ^{m}$ in den ${}\mathbb {R} ^{n}$, die durch ${}(x_{1},\ldots ,x_{m})\mapsto (x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0)$ gegeben ist, beliebig oft differenzierbar ist.

Aufgabe

Zeige, dass die offene Zylinderoberfläche ${}S^{1}\times {]0,1[}$ zu ${}S^{1}\times \mathbb {R}$, zur punktierten Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ und zu ${}S^{2}\setminus \{N,S\}$ diffeomorph ist.

Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition.

Eine Funktion

$f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

heißt homogen vom Grad ${}d$, wenn für jeden Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{n}$ und jedes ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$ die Beziehung

${}f(\lambda P)=\lambda ^{d}f(P)\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare homogene Funktion, die in der Faser ${}F$ über ${}a\neq 0$ regulär sei. Zeige, dass jede Faser zu ${}b\neq 0$ eine zu ${}F$ diffeomorphe Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe

Es sei ${}]a,b[$ ein offenes Intervall und

$f\colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Es sei ${}M$ die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers. Zeige, dass diese Menge eine zu einem offenen Zylinder diffeomorphe Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine Ellipsoidoberfläche und die Einheitssphäre ${}C^{\infty }$- diffeomorph sind.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer zweidimensionalen zusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ und einem Punkt ${}P\in M$ derart, dass ${}M$ und ${}M\setminus \{P\}$ zueinander diffeomorph sind.

Aufgabe

Zeige, dass die Antipodenabbildung

$S^{n}\longrightarrow S^{n},\,(x_{1},\ldots ,x_{n+1})\longmapsto (-x_{1},\ldots ,-x_{n+1}),$

ein fixpunktfreier Diffeomorphismus ist, der zu sich selbst invers ist.

Aufgabe *

Zeige, dass eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ der Dimension ${}n\geq 1$ unendlich viele Diffeomorphismen

$\varphi \colon M\longrightarrow M$

besitzt.

Die folgenden Aufgaben sollen erläutern, warum man Mannigfaltigkeiten mit offenen Überdeckungen ansetzt.

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem topologischen Raum ${}X$. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x\in X$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jeder offenen Umgebung ${}U\subseteq X$ von ${}x$ gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Folgenglieder ${}x_{n}$ zu ${}U$ gehören.

In diesem Fall heißt ${}x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine topologische Mannigfaltigkeit und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn es ein Kartengebiet von ${}M$ gibt, das fast alle Glieder der Folge enthält und so, dass die entsprechende Bildfolge im Kartenbild konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine topologische Mannigfaltigkeit und

$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$

eine Familie von Karten mit den Übergangsabbildungen

$\varphi _{ij}=\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j}).$

Zeige, dass man aus der Familie der ${}V_{i}$, ${}i\in I$, den Teilmengen ${}V_{ij}\subseteq V_{i}$ und den Übergangsabbildungen

$\varphi _{ij}\colon V_{ij}\longrightarrow V_{ji}$

die Mannigfaltigkeit ${}M$ rekonstruieren kann.

a) Betrachte auf

${}N:=\biguplus _{i\in I}V_{i}\,$

die Äquivalenzrelation, unter der zwei Punkte ${}P\in V_{i}$ und ${}Q\in V_{j}$ gleich sind, wenn sie unter ${}\varphi _{ij}$ ineinander abgebildet werden.

b) Versehe die Quotientenmenge ${}N/\sim$ mit einer geeigneten Topologie.

c) Definiere auf ${}N/\sim$ Karten.

d) Zeige, dass ${}M$ und ${}N/\sim$ homöomorph sind.

Das in der vorstehenden Aufgabe beschriebene Konstruktionsverfahren für eine Mannigfaltigkeit funktioniert für eine Familie von offenen Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit Übergangsabbildungen, die die Kozykelbedingung aus Aufgabe 7.11 erfüllen. Allerdings ist der dabei entstehende topologische Raum nicht ohne weiteres ein Hausdorff-Raum. Man spricht vom offenen Verkleben von Räumen.

Aufgabe

Wir betrachten die reelle Gerade zweifach, also ${}G_{1}=\mathbb {R}$ und ${}G_{2}=\mathbb {R}$ zusammen mit der Verklebungsabbildung

$\varphi \colon G_{1}\setminus \{0\}\longrightarrow G_{2}\setminus \{0\},\,x\longmapsto x^{-1}.$

Es sei ${}M$ der entstehende topologische Raum gemäß der in Aufgabe 8.15 beschriebenen Konstruktion. Zeige, dass ${}M$ homöomorph zur ${}1$- Sphäre ist.

Aufgabe

Wir betrachten die reelle Gerade zweifach, also ${}G_{1}=\mathbb {R}$ und ${}G_{2}=\mathbb {R}$ zusammen mit der Verklebungsabbildung

$\operatorname {Id} \colon G_{1}\setminus \{0\}\longrightarrow G_{2}\setminus \{0\}.$

Es sei ${}M$ der entstehende topologische Raum gemäß der in Aufgabe 8.15 beschriebenen Konstruktion. Zeige, dass ${}M$ keine Mannigfaltigkeit ist.

Aufgaben zum Abgeben

In der folgenden Aufgabe interpretiere man ${}{\mathbb {C} }$ als ${}\mathbb {R} ^{2}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

${\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto zw.$

Für welche Punkte ${}u\in {\mathbb {C} }$ ist die Faser über ${}u$ eine Mannigfaltigkeit? Man gebe jeweils eine möglichst einfache Beschreibung des Diffeomorphietyps.

Aufgabe (6 Punkte)

Es seien zwei Punkte ${}P$ und ${}Q$ auf der Einheitssphäre gegeben. Zeige, dass es einen Diffeomorphismus der Sphäre in sich gibt, der ${}P$ in ${}Q$ überführt.

Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zu jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq M$ betrachten wir die Menge ${}C^{1}(U,\mathbb {R} )$ der differenzierbaren Funktionen auf ${}U$. Es sei ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung.

1. Zeige, dass zu ${}V\subseteq U$ offen und ${}f\in C^{1}(U,\mathbb {R} )$ auch die Einschränkung ${}f{|}_{V}$ zu ${}C^{1}(V,\mathbb {R} )$ gehört.
2. Es sei ${}f\in C^{1}(M,\mathbb {R} )$. Zeige, dass ${}f=0$ genau dann ist, wenn sämtliche Einschränkungen ${}f{|}_{U_{i}}=0$ sind.
3. Es sei eine Familie ${}f_{i}\in C^{1}(U_{i},\mathbb {R} )$ von Funktionen gegeben, die die „Verträglichkeitsbedingung“

   ${}f_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=f_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\,$

   für alle ${}i,j$ erfüllen. Zeige, dass es ein ${}f\in C^{1}(M,\mathbb {R} )$ gibt mit ${}f{|}_{U_{i}}=f_{i}$ für alle ${}i$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die mindestens zwei Elemente besitze. Zeige, dass es differenzierbare Funktionen

$f,g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

gibt mit ${}f,g\neq 0$, aber ${}fg=0$.