Mannigfaltigkeit/Übergangsabbildungen/Kozykelbedingung/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine topologische Mannigfaltigkeit und es sei ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung mit Karten

$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$

mit ${}V_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Zu ${}i,j\in I$ seien

$\varphi _{ij}=\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$

die Übergangsabbildungen. Zeige, dass zu ${}i,j,k\in I$ die sogenannte Kozykelbedingung (auf welchen Teilmengen?)

${}\varphi _{ij}=\varphi _{kj}\circ \varphi _{ik}\,$

gilt.

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