Kurs:Diskrete Mathematik/19/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	4	0	0	4	0	0	6	0	0	3	0	5	0	0	0	0	0	28

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine kommutative Gruppe.
2. Die Transitivität einer Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$.
3. Ein Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   zwischen Ringen ${}R$ und ${}S$.

4. Der Minimalgrad eines Graphen ${}G=(V,E)$.
5. Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Punkte/Abstand/Definition/Begriff
6. Ungerichter Graph/Perfekte Paarung/Definition/Begriff

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

In einer Höhle befinden sich im Innern am Ende des Ganges vier Personen. Sie haben eine Taschenlampe bei sich und der Gang kann nur mit der Taschenlampe begangen werden. Dabei können höchstens zwei Leute gemeinsam durch den Gang gehen. Die Personen sind unterschiedlich geschickt, die erste Person benötigt eine Stunde, die zweite Person benötigt zwei Stunden, die dritte Person benötigt vier Stunden und die vierte Person benötigt fünf Stunden, um den Gang zu durchlaufen. Wenn zwei Personen gleichzeitig gehen, entscheidet die langsamere Person über die Geschwindigkeit.

1. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau ${}13$ Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?
2. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau ${}12$ Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Mustafa Müller schreibt die natürlichen Zahlen

$0,1,2,3,\ldots ,998,999,1000$

hintereinander auf. Wie oft kommt dabei die Ziffern ${}0,1,2,\ldots ,9$ vor? Wie viele Kommata setzt er?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass jede rationale Zahl ${}z\neq 0$ eine eindeutige Darstellung der Form

${}z=\pm \prod _{p}p^{\nu _{p}(z)}\,$

besitzt, wobei das (endliche) Produkt sich über Primzahlen erstreckt und die Exponenten ${}{\nu _{p}(z)}\in \mathbb {Z}$ sind.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die universelle Eigenschaft der Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die algebraische Struktur der Restklassenringe ${}R/{\mathfrak {a}}$ zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)