Kurs:Diskrete Mathematik/20/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	6	0	0	0	0	0	0	2	3	0	0	0	0	0	0	0	0	17

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Untergruppe ${}H$ in einer Gruppe ${}G$.
2. Eine rechtsvollständige Relation  ${}R\subseteq M\times N$. 
3. Ein Supremum zu einer Teilmenge  ${}J\subseteq I$  in einer geordneten Menge ${}(I,\preccurlyeq )$.
4. Die Nachbarschaft zu einem Punkt  ${}v\in V$  in einem Graphen  ${}G=(V,E)$. 
5. Der Radius eines zusammenhängenden Graphen  ${}G=(V,E)$. 
6. Eine optimale Knotenüberdeckung eines Graphen  ${}G=(V,E)$. 

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die algebraische Struktur der Restklassenringe ${}R/{\mathfrak {a}}$ zu einem Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Der Satz über den Zusammenhang von Graphen mit Blättern.
3. Der Vier-Farben-Satz.

Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)

Professor Knopfloch möchte mit Dr. Eisenbeis essen gehen und hebt daher beim Bankautomat ${}100$ Euro in Scheinen ab.

1. Was ist die minimale Anzahl von Scheinen und was ist die maximale Anzahl von Scheinen, die er bekommen kann?
2. Ist es möglich, dass er ${}17$ Scheine bekommt?
3. Welche Anzahlen von Scheinen sind möglich?
4. Was ist die kleinste Anzahl von Scheinen, für die es zumindest zwei verschiedene Scheinverteilungen gibt?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}1071$ und ${}1029$.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten auf den komplexen Zahlen die Relation, bei der zwei Zahlen ${}z,w$ als äquivalent gelten, wenn ihre ${}17$-te Potenz übereinstimmt.

1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
2. Wie viele Elemente beinhalten die Äquivalenzklassen (verwende, dass es ${}17$ komplexe Zahlen mit  ${}z^{17}=1$  gibt)?

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (0 Punkte)