Kurs:Diskrete Mathematik/20/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	6	0	0	0	0	0	0	2	3	0	0	0	0	0	0	0	0	17

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Untergruppe ${}H$ in einer Gruppe ${}G$.
2. Eine rechtsvollständige Relation ${}R\subseteq M\times N$.
3. Geordnete Menge/Teilmenge/Supremum/Definition/Begriff
4. Ungerichteter Graph/Nachbarn/Definition/Begriff
5. Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Radius/Definition/Begriff
6. Graph/Knotenüberdeckung/Optimal/Definition/Begriff

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die algebraische Struktur der Restklassenringe ${}R/{\mathfrak {a}}$ zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Der Satz über den Zusammenhang von Graphen mit Blättern.
3. Der Vier-Farben-Satz.

Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)

Professor Knopfloch möchte mit Dr. Eisenbeis essen gehen und hebt daher beim Bankautomat ${}100$ Euro in Scheinen ab.

1. Was ist die minimale Anzahl von Scheinen und was ist die maximale Anzahl von Scheinen, die er bekommen kann?
2. Ist es möglich, dass er ${}17$ Scheine bekommt?
3. Welche Anzahlen von Scheinen sind möglich?
4. Was ist die kleinste Anzahl von Scheinen, für die es zumindest zwei verschiedene Scheinverteilungen gibt?

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}1071$ und ${}1029$.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten auf den komplexen Zahlen die Relation, bei der zwei Zahlen ${}z,w$ als äquivalent gelten, wenn ihre ${}17$-te Potenz übereinstimmt.

1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
2. Wie viele Elemente beinhalten die Äquivalenzklassen (verwende, dass es ${}17$ komplexe Zahlen mit ${}z^{17}=1$ gibt)?

Aufgabe (0 Punkte)

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