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Kurs:Diskrete Mathematik/25/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 3 0 0 4 0 0 0 3 3 8 0 0 0 0 0 0 0 27




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Reflexivität einer Relation auf einer Menge .
  2. Teilbarkeitstheorie (N)/Kleinstes gemeinsames Vielfache/Definition/Begriff
  3. Die kanonische Projektion zu einer Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  4. Ungerichteter Graph/Kantenteilmenge/Restgraph/Definition/Begriff
  5. Ungerichteter Graph/Zusammenhangskomponente/Definition/Begriff
  6. Graph/Knotenüberdeckung/Definition/Begriff



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name



Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Bei einer Fußballweltmeisterschaft werden in der Runde der letzten vier die Plätze nach folgendem Modus bestimmt: Es gibt zwei Halbfinals, deren Gewinner das Finale und deren Verlierer das Spiel um Platz bestreiten. Von einer solchen Runde seien die Mannschaften und die Ergebnisse der insgesamt vier Spiele bekannt, aber nicht die Rolle der Spiele.

  1. Welche Information über die Platzierung kann man stets aus den Daten erschließen?
  2. Unter welcher Bedingung kann man die Rolle aller Spiele erschließen,
  3. unter welcher nicht?



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (4 (0.5+0.5+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Verknüpfung

die einem Paar diejenige Zahl zuordnet, die entsteht, wenn man im Zehnersystem die Zahl -fach hintereinander schreibt.

  1. Bestimme .
  2. Bestimme .
  3. Ist die Verknüpfung kommutativ?
  4. Ist die Verknüpfung assoziativ?
  5. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass für natürliche Zahlen die folgenden Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

  1. Für jede natürliche Zahl gilt und .
  2. Für jede natürliche Zahl gilt .
  3. Gilt und , so gilt auch .
  4. Gilt und , so gilt auch .
  5. Gilt , so gilt auch für jede natürliche Zahl .
  6. Gilt und , so gilt auch für beliebige natürliche Zahlen .



Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.



Aufgabe * (8 (3+2+3) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge aller stetigen Funktionen von nach die folgende Relation: Es ist , falls es eine nullstellenfreie stetige Funktion mit

gibt.

  1. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Zeige, dass aus folgt, dass die Nullstellenmenge von und von übereinstimmen.
  3. Zeige, dass die beiden Funktionen

    und

    nicht zueinander äquivalent sind.



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)