Kurs:Diskrete Mathematik/6/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | |
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Punkte | 3 | 3 | 4 | 4 | 5 | 6 | 1 | 0 | 4 | 4 | 0 | 0 | 5 | 1 | 3 | 0 | 0 | 0 | 4 | 47 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Menge/Permutation/Definition/Begriff
- Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungstreu/Definition/Begriff
- Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation auf einer Menge .
- Ungerichteter Graph/Regulär/Definition/Begriff
- Ungerichteter Graph/Kartesisches Produkt/Definition/Begriff
- Ungerichter Graph/Optimale Paarung/Definition/Begriff
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Beziehung zwischen der Multiplikation und endlichen Mengen.
- Der Satz über die Untergruppen von .
- Der Charakterisierungssatz für bipartite Graphen mittels Kreisen.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei eine endliche Menge mit Elementen und sei ein Element, das nicht zu gehöre. Zeige, dass dann die Vereinigung genau Elemente besitzt.
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)
Gabi Hochster möchte sich die Fingernägel ihrer linken Hand (ohne den Daumennagel) lackieren, wobei die drei Farben zur Verfügung stehen. Sie möchte nicht, dass zwei benachbarte Finger die gleiche Farbe bekommen.
- Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn sie nur zwei Farben verwendet?
- Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn sie alle drei Farben verwendet?
Aufgabe * (5 (1+2+2) Punkte)
Es sei . Vergleiche die Anzahl der injektiven Abbildungen von einer -elementigen Menge in eine -elementige Menge mit der Anzahl der surjektiven Abbildungen von einer -elementigen Menge in eine -elementige Menge in den folgenden Fällen.
a) ,
b) ,
c) .
Aufgabe * (6 Punkte)
Es sei eine Menge und es seien , , endliche Teilmengen. Für eine Teilmenge sei
Beweise die Anzahlformel
Aufgabe * (1 Punkt)
Es sei eine kommutative Gruppe und
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ebenfalls kommutativ ist.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)
Wir betrachten die Menge
die mit der stellenweisen Addition von Funktionen eine kommutative Gruppe ist. Auf dieser Menge bildet die Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine assoziative Verknüpfung mit der Identität als neutralem Element.
- Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form
gilt.
- Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form
nicht gilt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Zeige, dass beim euklidischen Algorithmus zu und der größte gemeinsame Teiler von zwei aufeinanderfolgenden Resten stets gleich bleibt und schließe daraus, dass der Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen berechnet.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)
Es sei ein Graph.
- Zeige, dass für
die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
a) Es ist .
b) Für alle folgt aus auch .
c) Die Abbildungmit
ist ein Graphhomomorphismus.
- Es sei die Relation aus (1). Welche Eigenschaften einer Ordnungsrelation erfüllt sie, welche nicht?
Aufgabe * (1 Punkt)
Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise den Sechs-Farben-Satz.