Kurs:Diskrete Mathematik/8/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	5	8	5	0	2	0	6	7	0	0	0	0	0	0	0	0	7	46

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein inverses Element zu einem Element ${}x\in M$ bezüglich einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

   mit einem neutralen Element ${}e\in M$.

2. Eine lineare (oder totale) Ordnung ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.
3. Verband/Distributiv/Definition/Begriff
4. Graph/Ungerichtet/Definition/Begriff
5. Matroid/Basis/Definition/Begriff
6. Ungerichteter Graph/Paarung/Alternierender Weg/Definition/Begriff

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Anzahl von Abbildungen zwischen endlichen Mengen.
2. Der Satz über die Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper ${}K$.
3. Der Charakterisierungssatz für eulersche Graphen.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Menge, die als disjunkte Vereinigung

${}G=A\uplus B\,$

gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(G)$ und der Produktmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(A)\times {\mathfrak {P}}\,(B)$.

Aufgabe * (8 (1+1+1+3+2) Punkte)

Zur großen Pause fährt der Eiswagen „Largo Maggiore“ auf den Pausenhof. Eisverkäufer Lorenzo di Napoli bietet ${}10$ Eissorten an. Lucy Sonnenschein hat heute Lust auf ein Eis mit drei Kugeln, die in der Eistüte übereinander gestapelt werden.

1. Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Lucy drei verschiedene Sorten möchte und die Schleckreihenfolge mitberücksichtigt wird?
2. Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Lucy drei verschiedene Sorten möchte und die Schleckreihenfolge nicht mitberücksichtigt wird?
3. Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Sorten mehrfach auftreten dürfen und die Schleckreihenfolge mitberücksichtigt wird?
4. Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Sorten mehrfach auftreten dürfen und die Schleckreihenfolge nicht mitberücksichtigt wird?
5. Wie kann man mit den Schritten mit denen man (4) beantwortet hat die Antworten zu (1) und zu (3) herleiten?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a\in K$ ein beliebiges Element. Bestimme, welche Potenzen ${}a^{n}$ man (ausgehend von ${}a$ und bei optimaler Verwertung von Zwischenschritten) mit einer, zwei, drei oder vier Multiplikationen erhalten kann.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über das inverse Element in einer Gruppe ${}(G,\circ ,e)$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die atomare Darstellung in einem booleschen Verband.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}a$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}b$ Litern, wobei ${}a$ und ${}b$ teilerfremd seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise die eulersche Polyederformel.