Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 1

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Übungsaufgaben

Aufgabe

In der Planung für einen Laufwettbewerb wurden die folgenden Bahnen vergeben.

Leider wurden und des Dopings überführt und dürfen nicht teilnehmen. In dieser Situation möchte man auf die Außenbahnen und verzichten. Erstelle aus der Nummerierung eine möglichst einfache neue Nummerierung (also eine bijektive Abbildung) für die neue Situation.


Aufgabe

Es seien und natürliche Zahlen. Zeige, dass die (Nachfolger-)Abbildung

bijektiv ist.


Aufgabe

Zeige durch Induktion nach , dass jede Teilmenge von endlich ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Menge mit Elementen und es sei eine Teilmenge. Zeige, dass ebenfalls eine endliche Menge ist, und dass für ihre Anzahl die Abschätzung

gilt. Zeige ferner, dass genau dann eine echte Teilmenge ist, wenn

ist.


Aufgabe *

Es sei eine endliche Menge mit Elementen und sei ein Element, das nicht zu gehöre. Zeige, dass dann die Vereinigung genau Elemente besitzt.


Aufgabe *

Es seien natürliche Zahlen. Zeige, dass die Abbildung

bijektiv ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge endlich mit Elementen ist. Zeige ferner, dass für jedes die Menge

ebenfalls eine endliche Menge mit Elementen ist.


Aufgabe

Es seien und endliche Mengen und es gebe eine injektive Abbildung . Zeige .


Aufgabe

Es seien und endliche Mengen. Es gebe zwei injektive Abbildungen und . Zeige, dass dann die beiden Mengen die gleiche Anzahl besitzen.


Aufgabe *

Zwei Personen wollen ihre Körpergröße vergleichen. Sie können sich direkt vergleichen, indem sie sich Rücken an Rücken hinstellen, oder, indem sie ein Maßband (Zollstock) nehmen und ihre Größe damit jeweils messen. Welche Analogien zu diesen Methoden gibt es, wenn man zwei endliche Mengen vergleichen möchte?


Aufgabe

Es seien und endliche Teilmengen einer Menge . Zeige, dass dann auch die Vereinigung endlich ist.


Aufgabe

In der Klasse gibt es vier Reihen mit je acht Sitzplätzen, die alle besetzt sind. Vorne stehen Frau Maier-Sengupta und Herr Lutz. Frau Maier Sengupta zählt die Kinder durch, wobei sie reihenweise von (zuerst) links nach rechts und (dann) von vorne nach hinten durchzählt. Herr Lutz zählt die Kinder von rechts hinten nach links vorne, wobei er zuerst die ganz rechts sitzenden Kinder durchzählt u.s.w.

  1. Welche Nummer bekommt dasjenige Kind, das von Frau Maier-Sengupta die Nummer bekommt, von Herrn Lutz?
  2. Welche Nummer bekommt dasjenige Kind, das von Herrn Lutz die Nummer bekommt, von Frau Maier-Sengupta?
  3. Welche Nummer bekommt das Kind, das in der dritten Reihe von vorne auf dem sechsten Stuhl von links sitzt, von den beiden Lehrkräften?


Aufgabe *

Es seien und Mengen und seien und Teilmengen. Zeige die Gleichheit


Aufgabe

Es seien und Mengen und seien und Teilmengen. Zeige die Gleichheit


Aufgabe

Es seien und disjunkte Mengen und eine weitere Menge. Zeige die Gleichheit


Aufgabe *

Es sei . Zeige, wie man mit vier Multiplikationen berechnen kann.


Aufgabe

Seien Mengen. Stifte eine Bijektion zwischen


Aufgabe

Es seien und Mengen, wobei endlich sei. Wir betrachten die Abbildung

Einer Abbildung wird also die Abbildung zugeordnet, die jedem Wert die Anzahl seiner Urbilder zuordnet. Finde möglichst viele Interpretationen für diese Situation.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und zwei endliche Teilmengen einer Menge . Zeige, dass die Formel

gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine endliche Menge mit Elementen und es sei

eine surjektive Abbildung in eine weitere Menge . Zeige, dass dann auch endlich ist, und dass für ihre Anzahl die Abschätzung

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien endliche Mengen. Zeige durch Induktion über unter Verwendung von Lemma 1.7, dass

gilt


Aufgabe (3 Punkte)

Seien Mengen. Stifte eine Bijektion zwischen



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