Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Vorlesung 2

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Abbildungen zwischen endlichen Mengen

In der letzten Vorlesung haben wir zwei wichtige Prinzipien der elementaren Kombinatorik kennengelernt, nämlich das Additivitätsprinzip für disjunkte Mengen (Lemma 1.6) und das Multiplikativitätsprinzip für Produktmengen (Lemma 1.7). Hier werden wir entsprechende Überlegungen für Abbildungen zwischen endlichen Mengen anstellen.

In der folgenden Aussage bezeichnen wir zu einer Abbildung

zu die Menge

als Urbildmenge zu . Man spricht auch von der Faser zu .



Satz  

Es seien und endliche Mengen und es sei

eine Abbildung.

Dann gilt

Beweis  

Da jedes Element auf genau ein Element aus abgebildet wird, liegt eine disjunkte Vereinigung

vor. Nach Lemma 1.6 ist daher die Gesamtanzahl der Menge gleich der Summe der disjunkten Teilmengen.




Satz  

Es seien und endliche Mengen mit bzw. Elementen.

Dann gibt es Abbildungen von nach .

Beweis  

Ohne Einschränkung sei

Es gibt eine natürliche bijektive Abbildung

was darauf beruht, dass eine Abbildung und eine vollständige Wertetabelle äquivalente Objekte sind. Daher folgt die Aussage aus Lemma 1.7 bzw. dessen Verallgemeinerung auf eine mehrfache Produktmenge, siehe Aufgabe 1.20.


Solche Aussagen werden in der Kombinatorik gerne mit einem Kugel- und Urnenmodell ausgedrückt. In diesem Fall sagt, man dass es Möglichkeiten gibt, unterscheidbare Kugeln auf unterscheidbare Urnen ohne weitere Bedingung zu verteilen. Abbildungen entsprechen dabei immer dem beidseitig unterscheidbaren Fall, einfach deshalb, weil in einer Menge die Elemente unterscheidbar sind.



Die Fakultät
Dieses Tanzpaar hat sich schon gefunden. Für die verbliebenen Personen gibt es insgesamt noch Möglichkeiten (Gemälde von Ernst Ludwig Kirchner).

Bei einem Tanzkurs mit Damen und Herren gilt heute beim Schneewalzer Damenwahl, wobei die Damen in der Reihenfolge ihrer Sitzordnung wählen dürfen. Die erste Dame hat Wahlmöglichkeiten, die zweite Möglichkeiten, die dritte Möglichkeiten, u.s.w., die vorletze Dame hat noch zwei Möglichkeiten und für die letzte Dame verbleibt eine Möglichkeit.[1]


Definition  

Zu einer natürlichen Zahl nennt man die Zahl

die Fakultät von (sprich Fakultät).

Es ist . Man setzt . Für kleine erhält man die folgende Wertetabelle.



Satz  

Es seien und endliche Mengen, die beide Elemente besitzen.

Dann gibt es bijektive Abbildungen von nach .

Beweis  

Wir führen Induktion über , wobei der Fall klar ist. Die Aussage sei nun für schon bewiesen und es liegen zwei -elementige Mengen und vor. Es sei ein fixiertes Element. Dann gibt es für die Werte genau Möglichkeiten, nämlich die Anzahl der Menge . Wenn dies festgelegt ist, so entsprechen die bijektiven Abbildungen von nach mit

den bijektiven Abbildungen von nach . Nach Induktionsvoraussetzung gibt es solche bijektiven Abbildungen. Daher ist die Anzahl der bijektiven Abbildungen zwischen und gleich


Gleichbedeutend damit ist, dass es Möglichkeiten gibt, Objekte auf Plätze zu verteilen, oder Möglichkeiten, unterscheidbare Kugeln auf unterscheidbare Urnen so zu verteilen, dass keine Urne leer bleibt, oder Möglichkeiten, eine Menge von Objekten abzuzählen (durchzunummerieren).



Korollar  

Auf einer endlichen Menge mit Elementen

gibt es bijektive Abbildungen von nach .

Beweis  

Dies ist ein Spezialfall von Satz 2.4.

Bijektive Abbildungen einer Menge in sich bekommen einen eigenen Namen.


Definition  

Eine Permutation auf einer Menge ist eine bijektive Abbildung


Beispiel  

Wir möchten eine vollständige Liste von allen bijektiven Abbildungen von der Menge in die Menge in der Form von Wertetabellen angeben. Wegen

gibt es sechs solche Abbildungen. Es gibt keine natürliche Reihenfolge dieser Abbildungen, dennoch kann man hier mehr oder weniger systematisch vorgehen. Beispielsweise kann man den Wert an der Stelle zuerst festlegen und dann die möglichen Kombinationen für und durchgehen. Dies führt auf die folgenden Wertetabellen.










Lemma

Es seien und endliche Mengen mit bzw. Elementen mit .

Dann gibt es injektive Abbildungen von nach .

Beweis

Siehe Aufgabe 2.14.


Die Bestimmung der Anzahl von surjektiven Abbildungen ist deutlich schwieriger, wir werden in der 13. Vorlesung darauf zurückkommen.



Die Potenzmenge

Definition  

Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von . Sie wird mit

bezeichnet.

Wenn die Menge der Leute im Kurs sind, so kann man als die Menge aller Parties auffassen, die diese Leute feiern können, wenn man eine Party mit der Menge der anwesenden Leute identifiziert.



Lemma

Es sei eine endliche Menge mit Elementen.

Dann besitzt die Potenzmenge genau Elemente.

Beweis

Siehe Aufgabe 2.22.




Die Binomialkoeffizienten

Wir bezeichnen mit die Menge der -elementigen Teilmengen von . Im Folgenden interessieren wir uns für deren Anzahl.



Satz  

Die Anzahl der -elementigen Teilmengen in einer -elementigen Menge ist

Beweis  

Es sei eine -elementige Menge und eine -elementige Teilmenge. Wir betrachten die Menge aller bijektiven Abbildungen

die zusätzlich auf (und damit) auf abbilden. Nach Lemma 2.3 und nach Lemma 1.7 gibt es solche Abbildungen. Insgesamt gibt es bijektive Abbildungen von nach . Daher ist

Insbesondere ist ein Teiler von und es ist

die Anzahl der -elementigen Teilmengen von .


Der Satz beinhaltet, dass ein Teiler von ist und somit ist der Bruch eine natürliche Zahl. Diese bekommt einen eigenen Namen und ein eigenes Symbol.


Definition  

Es seien und natürliche Zahlen mit . Dann nennt man

den Binomialkoeffizienten über “.

Bemerkung  

Für die Binomialkoeffizienten gilt die Regel

wie unmittelbar aus der Definition folgt. Dies kann man sich auch mit Hilfe von Satz 2.5 klar machen. Die Komplementabbildung

auf einer -elementigen Menge ist bijektiv und bildet -elementige Teilmengen auf -elementige Teilmengen ab.


Den Binomialkoeffizienten kann man auch als

schreiben, da die Faktoren aus auch in vorkommen und daher kürzbar sind. In dieser Darstellung stehen im Zähler und im Nenner gleich viele Faktoren. Gelegentlich ist es sinnvoll, auch negative oder zuzulassen und in diesen Fällen die Binomialkoeffizienten gleich zu setzen. Dies passt zur Interpretation in Satz 2.5.


Beispiel  

In der vierelementigen Menge gibt es

zweielementige Teilmengen. Diese sind



Beispiel  

In einer -elementigen Menge gibt es genau

-elementige Teilmengen. Es gibt also so viele mögliche Zahlenkombinationen beim Lotto „Sechs aus 49“. Der Kehrwert von dieser Zahl ist die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto sechs Richtige zu haben. Es werden dabei die Teilmengen gezählt, nicht die möglichen Ziehreihenfolgen. Die Anzahl der möglichen Ziehreihenfolgen ist

zu jeder sechselementigen Teilmenge gibt es mögliche Ziehreihenfolgen die auf diese Teilmenge führen.


Das Dreieck der Binomialkoeffizienten war in Indien und in Persien schon um 1000 bekannt,
in China heißt es Yanghui-Dreieck (nach Yang Hui (um 1238-1298)),
in Europa heißt es das Pascalsche Dreieck (nach Blaise Pascal (1623-1662)).




Lemma  

Die Binomialkoeffizienten

erfüllen die rekursive Beziehung

Beweis  

Es ist


Wir geben noch einen zweiten Beweis für diese Aussage, der sich an der inhaltlichen Beschreibung der Binomialkoeffizienten als Teilmengenanzahl orientiert.


Es sei eine -elementige Menge und ein fixiertes Element. Nach Satz 2.5 ist die Anzahl der -elementigen Teilmengen von gleich . Eine solche Teilmenge enthält entweder oder aber nicht. Im ersten Fall entspricht dann eine solche Teilmenge einer -elementigen Teilmenge von , das ergibt den Summanden . Im zweiten Fall entspricht eine solche Teilmenge einer -elementigen Teilmenge von , das ergibt den Summanden .

Binomio al cubo.svg




Fußnoten
  1. Man könnte sich daran stören, dass man von Möglichkeiten spricht, obwohl nur eine Möglichkeit da ist, also keine echte Wahlmöglichkeit besteht. Mathematisch ist das aber die einzig sinnvolle Interpretation; eine Möglichkeit als keine Möglichkeit zu zählen würde alles durcheinander bringen.


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