Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 0

Die folgenden Aufgaben sind nicht abzugeben. In ihnen geht es um Mengen und Abbildungen, und sie werden in der ersten Übungsstunde besprochen. Wir erinnern dabei auch an einige grundlegende Definitionen, die schon bekannt sind.

Definition (Abbildung)

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird. Das zu ${}x\in L$ eindeutig bestimmte Element wird mit ${}F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

aus.

Definition (Injektiv und Surjektiv)

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$

• injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente
${}x,x'\in L$ auch ${}F(x)$ und ${}F(x')$ verschieden sind.
• surjektiv, wenn es für jedes ${}y\in M$ mindestens ein Element ${}x\in L$ mit

  ${}F(x)=y\,$

  gibt.
• bijektiv, wenn ${}F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Aufgabe *

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und

$f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ injektiv ist, so ist auch ${}f$ injektiv.

Aufgabe

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und

$f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ surjektiv ist, so ist auch ${}g$ surjektiv.

Zeige durch Beispiele, dass bei den beiden vorhergehenden Aufgaben die Umkehrung nicht gilt.

Für eine Abbildung gibt es mehrere Darstellungsmöglichkeiten, z.B. Wertetabellen, Pfeildiagramme, Kuchendiagramm, Graph einer Abbildung. Dabei sind die Übergänge zwischen der formalen Definition einer Abbildung und den visuellen Realisierungen fließend. In der Mathematik wird eine Abbildung zumeist durch eine Abbildungsvorschrift beschrieben, die es erlaubt, die Werte der Abbildung zu berechnen.

Definition (Produktmenge)

Es seien zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ gegeben. Dann nennt man die Menge

${}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$

die Produktmenge der beiden Mengen.

Man beachte, dass es dabei auf die Reihenfolge ankommt.

Aufgabe

Es seien ${}M,N,L$ Mengen. Stifte eine Bijektion zwischen

$\operatorname {Abb} \,{\left(M\times N,L\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,\operatorname {Abb} \,{\left(M,\operatorname {Abb} \,{\left(N,L\right)}\right)}.$

Man mache sich diese Situation für ${}M=N=[0,1]$ und ${}L=\mathbb {R}$ klar.

Aufgabe

Es seien ${}M,N,L$ Mengen. Stifte eine Bijektion zwischen

$\operatorname {Abb} \,{\left(M,N\times L\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,\operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}\times \operatorname {Abb} \,{\left(M,L\right)}.$

Definition (Graph einer Abbildung)

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Dann nennt man

${}\Gamma =\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M\,$

den Graphen der Abbildung ${}F$.

Abbildungen und ihre Graphen sind im wesentlichen äquivalente Objekte. Formal kann man auch Abbildungen als Graphen (spezielle Relationen) einführen. Man muss den Graph von seiner visuellen Realisierung unterscheiden, eine solche ist nicht immer möglich.

Aufgabe

Wie kann man sich den Graphen einer Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

und wie sich den Graphen einer Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

vorstellen?

Aufgabe

Skizziere den Graphen der reellen Addition

$+\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y,$

und den Graphen der reellen Multiplikation

$\cdot \colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y.$

Aufgabe *

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$f\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung mit dem Graphen ${}\Gamma _{f}\subseteq L\times M$. Zeige, dass die Abbildung

$\psi =\operatorname {Id} _{L}\times f\colon L\longrightarrow L\times M,\,x\longmapsto (x,f(x)),$

eine Bijektion zwischen ${}L$ und dem Graphen ${}\Gamma _{f}$ induziert. Was ist die Verknüpfung von ${}\psi$ mit der zweiten Projektion

$p_{2}\colon L\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto y?$

Bei einer Verknüpfung auf einer Menge ${}M$, also einer Abbildung

$M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

bezeichnet man eine (vollständige) Wertetabelle auch als Verknüpfungstafel. In einer solchen Tabelle stehen sowohl in der Kopfzeile als auch in der Kopfspalte (oder Leitspalte) die (linear geordneten) Elemente aus ${}M$, und in der Überkreuzungsstelle zu ${}x$ und ${}y$ steht der Verknüpfungswert ${}x\circ y$ als Eintrag. Dabei muss man festlegen, welche Ordnung zwischen den Zeilen und Spalten gilt, also ob im Kreuzungspunkt der ${}x$- ten Spalte und der ${}y$-ten Zeile ${}x\circ y$ oder ${}y\circ x$ steht. Diese Festlegung ist insbesondere wichtig, da bei Matrizen und Koordinatensystemen andere Konventionen gelten.

Aufgabe

Es sei ${}M$ die Menge der Abbildungen einer zweielementigen Menge in sich selbst, also

${}M={\left\{F:\{0,1\}\rightarrow \{0,1\}\mid F{\text{ Abbildung}}\right\}}\,.$

Benenne die Elemente aus ${}M$ und lege eine Wertetabelle für die Verknüpfung auf ${}M$ an, die durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen definiert ist.

Definition (Potenzmenge)

Zu einer Menge ${}M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von ${}M$ die Potenzmenge von ${}M$. Sie wird mit

${\mathfrak {P}}\,(M)$

bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Menge. Stifte eine Bijektion zwischen

${\mathfrak {P}}\,(G)\,\,{\text{ und }}\,\,\operatorname {Abb} \,{\left(G,\{0,1\}\right)}.$

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge, die als disjunkte Vereinigung

${}M=A\uplus B\,$

gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ und der Produktmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(A)\times {\mathfrak {P}}\,(B)$. Wie verhalten sich diese beiden Mengen, wenn ${}A$ und ${}B$ zwar eine Vereinigung von ${}M$ ergeben, aber nicht disjunkt sind, und umgekehrt?

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