Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 0

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Die folgenden Aufgaben sind nicht abzugeben. In ihnen geht es um Mengen und Abbildungen, und sie werden in der ersten Übungsstunde besprochen. Wir erinnern dabei auch an einige grundlegende Definitionen, die schon bekannt sind.


Definition (Abbildung)  

Seien und Mengen. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird. Das zu eindeutig bestimmte Element wird mit bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

aus.


Definition (Injektiv und Surjektiv)  

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt

    • injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch
    und verschieden sind.
    • surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit

    gibt.

    • bijektiv, wenn sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Aufgabe *

Seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.


Aufgabe

Seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn surjektiv ist, so ist auch surjektiv.

Zeige durch Beispiele, dass bei den beiden vorhergehenden Aufgaben die Umkehrung nicht gilt.

Für eine Abbildung gibt es mehrere Darstellungsmöglichkeiten, z.B. Wertetabellen, Pfeildiagramme, Kuchendiagramm, Graph einer Abbildung. Dabei sind die Übergänge zwischen der formalen Definition einer Abbildung und den visuellen Realisierungen fließend. In der Mathematik wird eine Abbildung zumeist durch eine Abbildungsvorschrift beschrieben, die es erlaubt, die Werte der Abbildung zu berechnen.


Definition (Produktmenge)  

Es seien zwei Mengen und gegeben. Dann nennt man die Menge

die Produktmenge der beiden Mengen.

Man beachte, dass es dabei auf die Reihenfolge ankommt.

Aufgabe

Seien Mengen. Stifte eine Bijektion zwischen

Man mache sich diese Situation für und klar.

Aufgabe

Seien Mengen. Stifte eine Bijektion zwischen



Definition (Graph einer Abbildung)  

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann nennt man

den Graphen der Abbildung .

Abbildungen und ihre Graphen sind im wesentlichen äquivalente Objekte. Formal kann man auch Abbildungen als Graphen (spezielle Relationen) einführen. Man muss den Graph von seiner visuellen Realisierung unterscheiden, eine solche ist nicht immer möglich.

Aufgabe

Wie kann man sich den Graphen einer Abbildung

und wie sich den Graphen einer Abbildung

vorstellen?


Aufgabe

Skizziere den Graphen der reellen Addition

und den Graphen der reellen Multiplikation


Aufgabe *

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung mit dem Graphen . Zeige, dass die Abbildung

eine Bijektion zwischen und dem Graphen induziert. Was ist die Verknüpfung von mit der zweiten Projektion


Bei einer Verknüpfung auf einer Menge , also einer Abbildung

bezeichnet man eine (vollständige) Wertetabelle auch als Verknüpfungstafel. In einer solchen Tabelle stehen sowohl in der Kopfzeile als auch in der Kopfspalte (oder Leitspalte) die (linear geordneten) Elemente aus , und in der Überkreuzungsstelle zu und steht der Verknüpfungswert als Eintrag. Dabei muss man festlegen, welche Ordnung zwischen den Zeilen und Spalten gilt, also ob im Kreuzungspunkt der - ten Spalte und der -ten Zeile oder steht. Diese Festlegung ist insbesondere wichtig, da bei Matrizen und Koordinatensystemen andere Konventionen gelten.

Aufgabe

Sei die Menge der Abbildungen einer zweielementigen Menge in sich selbst, also

Benenne die Elemente aus und lege eine Wertetabelle für die Verknüpfung auf an, die durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen definiert ist.



Definition (Potenzmenge)  

Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von . Sie wird mit

bezeichnet.

Aufgabe

Sei eine Menge. Stifte eine Bijektion zwischen


Aufgabe

Sei eine Menge, die als disjunkte Vereinigung

gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge und der Produktmenge . Wie verhalten sich diese beiden Mengen, wenn und zwar eine Vereinigung von ergeben, aber nicht disjunkt sind, und umgekehrt?



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