Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018)/Arbeitsblatt 27/latex

\setcounter{section}{27}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine $K$-\definitionsverweis {Modallogik}{}{,} in der das \definitionsverweis {Möglichkeitsaxiom}{}{} und das \definitionsverweis {Löb-Axiom}{}{} gelten, bereits widersprüchlich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {universelle modallogische Modell}{}{} zu einer einzigen Aussagenvariable $p$ bereits unendlich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge. Zeige, dass $T$ vollständig ist, dass also für jedes
\mathl{\alpha \in L}{} die Alternative \anfuehrung{Entweder
\mathl{\alpha \in T}{} oder
\mathl{\neg \alpha \in T}{}}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge, die die $K$-\definitionsverweis {Modallogik}{}{} umfasse und in der die Nezessisierungsregel gelte. Zeige, dass in $T$ entweder das \definitionsverweis {Leerheitsaxiom}{}{} oder das \definitionsverweis {Fatalismusaxiom}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge, die die $K$-\definitionsverweis {Modallogik}{}{} umfasse und in der es einen \definitionsverweis {paradoxen}{}{} Ausdruck gebe. Zeige, dass $T$ nicht unter der Nezessisierungsregel abgeschlossen ist.

}
{} {}

Die folgende Aufgabe kann man wegen Aufgabe 25.6 insbesondere auf die Beweisbarkeitslogik anwenden.


\inputaufgabe
{}
{

Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bot }
{ \defeq} { p \wedge \neg p }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es sei $\Gamma$ eine $K$-\definitionsverweis {Modallogik}{}{,} in der
\mathdisp {\Gamma \vdash \Box \bot \leftrightarrow \Box \neg \Box \bot} { }
ableitbar ist. Zeige, dass es keine widerspruchsfreie Erweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ \subseteq} { \tilde{\Gamma} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt, die aussagenlogisch und unter der Nezessierungsregel abgeschlossen ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K=K^\vdash$ die $K$-\definitionsverweis {Modallogik}{}{} und sei $U$ das \definitionsverweis {universelle modallogische Modell}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K }
{ =} { \bigcap_{ W \in U} W }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Ist das \definitionsverweis {universelle modallogische Modell}{}{} symmetrisch, reflexiv, transitiv? Ist das universell symmetrische modallogische Modell reflexiv?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(U,R,\nu)}{} das \definitionsverweis {universelle modallogische Modell}{}{.} Kann man auf
\mathl{(U,R)}{} auch eine andere Wahrheitsbelegung definieren?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Man gebe ein Beispiel für ein \definitionsverweis {modallogisches Modell}{}{}
\mathl{(M,R,\nu)}{,} eine Welt
\mathl{w \in M}{} und einen modallogischen Ausdruck
\mathl{\alpha \rightarrow \beta}{} mit
\mathdisp {(M,R,\nu,w) \vDash \alpha \rightarrow \beta} { , }
aber
\mathdisp {(M,R,\nu,w) \not \vDash \Box \alpha \rightarrow \Box \beta} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{(M,S,\mu)}{} ein \definitionsverweis {modallogisches Modell}{}{} und
\mathl{(U,R,\nu)}{} das \definitionsverweis {universelle modallogische Modell}{}{.} Zeige, dass durch \maabbeledisp {} {M} {U } {w} { (M,S,\mu,w)^\vDash } {,} eine Abbildung definiert ist, die ein \definitionsverweis {Homomorphismus}{}{} \zusatzklammer {bezüglich der zweistelligen Relationen \mathkor {} {S} {und} {R} {}} {} {} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{(M,R,\mu)}{} ein \definitionsverweis {modallogisches Modell}{}{} für die $S5$-\definitionsverweis {Modallogik}{}{.} Zeige, dass für zueinander erreichbare Welten
\mathl{v,w \in M}{} die Gültigkeitsmengen verschieden sein können, dass aber für jeden Ausdruck
\mathl{(M,R,\mu,v) \vDash \Box \alpha}{} genau dann gilt, wenn
\mathl{(M,R,\mu,w) \vDash \Box \alpha}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $\Gamma$ eine modallogische Ausdrucksmenge und
\mathl{\alpha}{} ein modallogischer Ausdruck. Es sei
\mathl{\Gamma \vDash \alpha}{.} Zeige, dass es eine endliche Teilmenge
\mathl{\Gamma_e \subseteq \Gamma}{} mit
\mathl{\Gamma_e \vDash \alpha}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass in der $K$-\definitionsverweis {Modallogik}{}{} das Schema
\mathdisp {\Box \alpha \wedge \Diamond \beta \rightarrow \Diamond \alpha} { }
ableitbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

In einem $K$-\definitionsverweis {modallogischen System}{}{} $S$ gelte das Axiomenschema
\mathdisp {\alpha \rightarrow \Diamond \Box \alpha} { . }
Zeige, dass man in $S$ das \definitionsverweis {Möglichkeitsaxiom}{}{}
\mathdisp {\Box \alpha \rightarrow \Diamond \alpha} { }
ableiten kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Charakterisiere die modallogischen Rahmen, in denen \zusatzklammer {bei jeder Wahrheitsbelegung} {} {} das Axiomenschema
\mathdisp {\alpha \rightarrow \Diamond \Box \alpha} { }
gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass aus dem $K$-\definitionsverweis {modallogischen}{}{} Axiomenschema
\mathdisp {\alpha \rightarrow \Diamond \Box \alpha} { }
nicht das Axiomenschema
\mathdisp {\alpha \rightarrow \Box\Diamond \alpha} { }
ableitbar ist.

}
{} {}

In dieser Woche können Sie noch Aufgaben aus dem Kurs, die sie noch nicht oder nicht mit voler Punktzahl bearbeitet haben, nachreichen.