Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018)/Arbeitsblatt 27

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass eine $K$-Modallogik, in der das Möglichkeitsaxiom und das Löb-Axiom gelten, bereits widersprüchlich ist.

Aufgabe

Zeige, dass das universelle modallogische Modell zu einer einzigen Aussagenvariable $p$ bereits unendlich ist.

Aufgabe

Es sei $T$ eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge. Zeige, dass $T$ vollständig ist, dass also für jedes $\alpha \in L$ die Alternative „Entweder $\alpha \in T$ oder $\mathrm{\neg }\alpha \in T$ “ gilt.

Aufgabe

Es sei $T$ eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge, die die $K$-Modallogik umfasse und in der die Nezessisierungsregel gelte. Zeige, dass in $T$ entweder das Leerheitsaxiom oder das Fatalismusaxiom gilt.

Aufgabe

Es sei $T$ eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge, die die $K$-Modallogik umfasse und in der es einen paradoxen Ausdruck gebe. Zeige, dass $T$ nicht unter der Nezessisierungsregel abgeschlossen ist.

Die folgende Aufgabe kann man wegen Aufgabe 25.6 insbesondere auf die Beweisbarkeitslogik anwenden.

Aufgabe

Wir setzen

$\mathrm{\perp }:=p\wedge \mathrm{\neg }p.$

Es sei $\Gamma$ eine $K$-Modallogik, in der

$\Gamma ⊢◻\mathrm{\perp }\leftrightarrow ◻\mathrm{\neg }◻\mathrm{\perp }$

ableitbar ist. Zeige, dass es keine widerspruchsfreie Erweiterung

$\Gamma \subseteq \tilde{\Gamma }$

gibt, die aussagenlogisch und unter der Nezessierungsregel abgeschlossen ist.

Aufgabe

Es sei $K=K^{⊢}$ die $K$-Modallogik und sei $U$ das universelle modallogische Modell. Zeige

$K=\bigcap _{W\in U}W.$

Aufgabe

Ist das universelle modallogische Modell symmetrisch, reflexiv, transitiv? Ist das universell symmetrische modallogische Modell reflexiv?

Aufgabe

Es sei $(U,R,\nu )$ das universelle modallogische Modell. Kann man auf $(U,R)$ auch eine andere Wahrheitsbelegung definieren?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für ein modallogisches Modell $(M,R,\nu )$, eine Welt $w\in M$ und einen modallogischen Ausdruck $\alpha \to \beta$ mit

$(M,R,\nu ,w)\models \alpha \to \beta ,$

aber

$(M,R,\nu ,w)\models ̸◻\alpha \to ◻\beta .$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $(M,S,\mu )$ ein modallogisches Modell und $(U,R,\nu )$ das universelle modallogische Modell. Zeige, dass durch

$M⟶U,w⟼(M,S,\mu ,w{)}^{\models },$

eine Abbildung definiert ist, die ein Homomorphismus (bezüglich der zweistelligen Relationen $S$ und $R$) ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $(M,R,\mu )$ ein modallogisches Modell für die $S5$-Modallogik. Zeige, dass für zueinander erreichbare Welten $v,w\in M$ die Gültigkeitsmengen verschieden sein können, dass aber für jeden Ausdruck $(M,R,\mu ,v)\models ◻\alpha$ genau dann gilt, wenn $(M,R,\mu ,w)\models ◻\alpha$ gilt.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $\Gamma$ eine modallogische Ausdrucksmenge und $\alpha$ ein modallogischer Ausdruck. Es sei $\Gamma \models \alpha$. Zeige, dass es eine endliche Teilmenge ${\Gamma }_e\subseteq \Gamma$ mit ${\Gamma }_e\models \alpha$ gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass in der $K$-Modallogik das Schema

$◻\alpha \wedge ◊\beta \to ◊\alpha$

ableitbar ist.

Aufgabe (2 Punkte)

In einem $K$-modallogischen System $S$ gelte das Axiomenschema

$\alpha \to ◊◻\alpha .$

Zeige, dass man in $S$ das Möglichkeitsaxiom

$◻\alpha \to ◊\alpha$

ableiten kann.

Aufgabe (3 Punkte)

Charakterisiere die modallogischen Rahmen, in denen (bei jeder Wahrheitsbelegung) das Axiomenschema

$\alpha \to ◊◻\alpha$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass aus dem $K$-modallogischen Axiomenschema

$\alpha \to ◊◻\alpha$

nicht das Axiomenschema

$\alpha \to ◻◊\alpha$

ableitbar ist.

In dieser Woche können Sie noch Aufgaben aus dem Kurs, die sie noch nicht oder nicht mit voler Punktzahl bearbeitet haben, nachreichen.