Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 19/latex

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\setcounter{section}{19}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Zeige, dass auch das \definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathdisp {V\times W} { }
ein $K$-Vektorraum ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $I$ eine Indexmenge. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K^I }
{ =} {\operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein $K$-Vektorraum ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
ein homogenes \definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{} über $K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} des $K^n$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} einschränken lässt und dass dieser mit den von $V$ geerbten Strukturen selbst ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es seien $U,W \subseteq V$ \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.} Zeige, dass die Vereinigung $U \cup W$ nur dann ein Untervektorraum ist, wenn \mathkor {} {U \subseteq W} {oder} {W \subseteq U} {} gilt.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten (dabei sei \mathlk{s \in K}{} und \mathlk{v \in V}{}). \aufzaehlungvier{Es ist $0v=0$. }{Es ist $s 0=0$. }{Es ist $(-1) v= -v$. }{Aus
\mathl{s \neq 0}{} und
\mathl{v \neq 0}{} folgt
\mathl{s v \neq 0}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und von drei Teilmengen in $V$ an, die jeweils zwei der Unterraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.

}
{} {}



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