Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 18

Übungsaufgaben

Aufgabe

Man gebe die Partialbruchzerlegung der Stammbrüche

$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots ,\frac{1}{25}$

an.

Aufgabe

Man gebe die Partialbruchzerlegung der Stammbrüche

$\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000},\frac{1}{10000},\mathrm{...}$

an.

Aufgabe

Finde eine Darstellung der rationalen Zahl $1/60$ als Summe von rationalen Zahlen, deren Nenner Primzahlpotenzen sind.

Aufgabe

Zeige, dass für Zahlen  $n,r\in {\mathbb{N}}_{+}$  die Gleichheit

$\frac{n^r-1}{n^r}=\frac{n-1}{n}+\frac{n-1}{n^2}+\cdots +\frac{n-1}{n^{r-1}}+\frac{n-1}{n^r}$

gilt.

Was bedeutet die vorstehende Aufgabe bei $n=10$?

Aufgabe *

Bestimme die Partialbruchzerlegung von

$\frac{100}{77}.$

Aufgabe

Bestimme die Partialbruchzerlegung von

$\frac{999}{75}.$

Aufgabe

Bestimme die Partialbruchzerlegung von

$\frac{1}{X(X-1)}$

über einem Körper $K$.

Aufgabe

Bestimme die Partialbruchzerlegung von

$\frac{3X^5+4X^4-2X^2+5X-6}{X^3}.$

Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten in der Partialbruchzerlegung in Beispiel 18.9 durch Einsetzen von einigen Zahlen für $X$.

Aufgabe *

Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von

$\frac{1}{x^4+1}$

unter Verwendung der Zerlegung

$x^4+1=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1).$

Aufgabe

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

$\frac{1}{X^2(X^2+1)}.$

Aufgabe

Bestimme die komplexe Partialbruchzerlegung von

$\frac{1}{X^3-1}.$

Aufgabe

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

$\frac{1}{X^3(X-1{)}^3}.$

Aufgabe

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

$\frac{X^3+4X^2+7}{X^2-X-2}.$

Aufgabe

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

$\frac{1}{X(X-1)(X-2)(X-3)}.$

Aufgabe *

Es sei

$f(x)=\frac{x^3+7x^2-5x+4}{x^2-3}.$

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von $f(x)$.

b) Bestimme eine Stammfunktion von $f(x)$.

Aufgabe *

a) Zeige, dass $X^3+X^2+2$ irreduzibel in $\mathbb{Z}/(3)[X]$ ist.

b) Bestimme die Partialbruchzerlegung von

$\frac{X^4}{{(X^3+X^2+2)}^2}$

in $\mathbb{Z}/(3)(X)$.

Aufgabe *

a) Zeige, dass $X^2+2$ irreduzibel in $\mathbb{Z}/(5)[X]$ ist.

b) Zeige, dass $X^3+X+1$ irreduzibel in $\mathbb{Z}/(5)[X]$ ist.

c) Bestimme die Partialbruchzerlegung von

$\frac{1}{(X^2+2)(X^3+X+1)}$

in $\mathbb{Z}/(5)(X)$.

Aufgabe *

a) Zeige, dass $X^2+1$ irreduzibel in $\mathbb{Q}[X]$ ist.

b) Zeige, dass $X^4+1$ irreduzibel in $\mathbb{Q}[X]$ ist. (Tipp: In $ℝ[X]$ gilt die Zerlegung  $X^4+1=(X^2+\sqrt{2}X+1)(X^2-\sqrt{2}X+1)$ .)

c) Bestimme die Partialbruchzerlegung von

$\frac{1}{(X^2+1)(X^4+1)}$

in $\mathbb{Q}(X)$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Finde eine Darstellung der rationalen Zahl $1/210$ als Summe von rationalen Zahlen, deren Nenner Primzahlpotenzen sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Partialbruchzerlegung von

$\frac{1536}{245}.$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass im Funktionenkörper $K(X)$ die Gleichheit

$\frac{X^r-1}{X^r}=\frac{X-1}{X}+\frac{X-1}{X^2}+\cdots +\frac{X-1}{X^{r-1}}+\frac{X-1}{X^r}$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

$\frac{1}{X^4-1}.$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

$\frac{X^7+X^4-5X+3}{X^8+X^6-X^4-X^2}.$