Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 20

Übungsaufgaben

Aufgabe

Drücke in ${}\mathbb {Q} ^{2}$ den Vektor

$(2,-7)$

als Linearkombination der Vektoren

$(5,-3){\text{ und }}(-11,4)$

aus.

Aufgabe

Drücke in ${}\mathbb {C} ^{2}$ den Vektor

$(1,0)$

als Linearkombination der Vektoren

$(3+5{\mathrm {i} },-3+2{\mathrm {i} }){\text{ und }}(1-6{\mathrm {i} },4-{\mathrm {i} })$

aus.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}V$ und ${}w\in V$ ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie

$w,v_{i},i\in I,$

ein Erzeugendensystem von ${}V$ ist und dass sich ${}w$ als Linearkombination der ${}v_{i}$, ${}i\in I$, darstellen lässt. Zeige, dass dann schon ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem von ${}V$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Beweise folgende Aussagen.

1. Sei ${}U_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie von Untervektorräumen von ${}V$. Dann ist auch der Durchschnitt

   ${}U=\bigcap _{j\in J}U_{j}\,$

   ein Untervektorraum.

2. Zu einer Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von Elementen in ${}V$ ist der erzeugte Unterraum ein Unterraum.
3. Die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist genau dann ein Erzeugendensystem von ${}V$, wenn

   ${}\langle v_{i},\,i\in I\rangle =V\,$

   ist.

Aufgabe

Zeige, dass die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}0\\1\\2\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\3\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\7\\0\\-1\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{4}$ linear unabhängig sind.

Aufgabe

Man gebe im ${}\mathbb {R} ^{3}$ drei Vektoren an, so dass je zwei von ihnen linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.

Aufgabe

Sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Wenn die Familie linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge ${}J\subseteq I$ die Familie ${}v_{i}$ , ${}i\in J$, linear unabhängig.
2. Die leere Familie ist linear unabhängig.
3. Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
4. Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.
5. Ein Vektor ${}v$ ist genau dann linear unabhängig, wenn ${}v\neq 0$ ist.
6. Zwei Vektoren ${}v$ und ${}u$ sind genau dann linear unabhängig, wenn weder ${}u$ ein skalares Vielfaches von ${}v$ ist noch umgekehrt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Es sei ${}\lambda _{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Elementen ${}\neq 0$ aus ${}K$. Zeige, dass die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, genau dann linear unabhängig (ein Erzeugendensystem von ${}V$, eine Basis von ${}V$) ist, wenn dies für die Familie ${}\lambda _{i}v_{i}$, ${}i\in I$, gilt.

Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung

${}3x+4y-2z+5w=0\,.$

Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

$-2x+3y-z+4w=0{\text{ und }}3z-2w=0.$

Aufgabe

Zeige, dass im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}1\\3\\7\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}}$

eine Basis bilden.

Aufgabe

Bestimme, ob im ${}\mathbb {C} ^{2}$ die beiden Vektoren

${\begin{pmatrix}2+7{\mathrm {i} }\\3-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}15+26{\mathrm {i} }\\13-7{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

eine Basis bilden.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Man finde ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau

${\left\{\lambda {\begin{pmatrix}3\\2\\-5\end{pmatrix}}\mid \lambda \in K\right\}}$

ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Drücke in ${}\mathbb {Q} ^{3}$ den Vektor

$(2,5,-3)$

als Linearkombination der Vektoren

$(1,2,3),(0,1,1){\text{ und }}(-1,2,4)$

aus. Zeige, dass man ihn nicht als Linearkombination von zweien der drei Vektoren ausdrücken kann.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\3\\-5\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}9\\2\\6\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}}$

eine Basis bilden.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob im ${}\mathbb {C} ^{2}$ die beiden Vektoren

${\begin{pmatrix}2-7{\mathrm {i} }\\-3+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}5+6{\mathrm {i} }\\3-17{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

eine Basis bilden.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\mathbb {Q} ^{n}$ der ${}n$-dimensionale Standardraum über ${}\mathbb {Q}$ und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {Q} ^{n}$ eine Familie von ${}n$ Vektoren. Zeige, dass diese Familie genau dann eine ${}\mathbb {Q}$-Basis des ${}\mathbb {Q} ^{n}$ ist, wenn diese Familie aufgefasst im ${}\mathbb {R} ^{n}$ eine ${}\mathbb {R}$-Basis des ${}\mathbb {R} ^{n}$ bildet.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\in K^{n}$

ein von ${}0$ verschiedener Vektor. Man finde ein lineares Gleichungssystem in ${}n$ Variablen mit ${}n-1$ Gleichungen, dessen Lösungsraum genau

${\left\{\lambda {\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\mid \lambda \in K\right\}}$

ist.