Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 18/latex
\setcounter{section}{18}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
der Stammbrüche
\mathdisp {1, { \frac{ 1 }{ 2 } } , { \frac{ 1 }{ 3 } } , \ldots , { \frac{ 1 }{ 25 } }} { }
an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
der Stammbrüche
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 10 } } , { \frac{ 1 }{ 100 } } , { \frac{ 1 }{ 1000 } }, { \frac{ 1 }{ 10000 } }, ...} { }
an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde eine Darstellung der
\definitionsverweis {rationalen Zahl}{}{}
\mathl{1/60}{} als Summe von rationalen Zahlen, deren Nenner
\definitionsverweis {Primzahlpotenzen}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für Zahlen
\mathl{n,r \in \N_+}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ n^r-1 }{ n^r } }
}
{ =} { { \frac{ n-1 }{ n } } + { \frac{ n-1 }{ n^2 } } + \cdots + { \frac{ n-1 }{ n^{r-1 } }} + { \frac{ n-1 }{ n^r } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
Was bedeutet die vorstehende Aufgabe bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 10
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ 100 }{ 77 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ 999 }{ 75 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ X(X-1) } }} { }
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ 3X^5+4X^4-2X^2+5X-6 }{ X^3 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Koeffizienten in der \definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{} in Beispiel 18.9 durch Einsetzen von einigen Zahlen für $X$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ x^4+1 } }} { }
unter Verwendung der Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4+1
}
{ =} { { \left( x^2+ \sqrt{2} x+1 \right) } { \left( x^2- \sqrt{2} x+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
und die
\definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X^2(X^2+1) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {komplexe Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X^3-1 }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
und die
\definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X^3(X-1)^3 }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
und die
\definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {\frac{ X^3+4X^2+7 }{ X^2-X-2 }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
und die
\definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X(X-1)(X-2)(X-3) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { { \frac{ x^3+7x^2-5x+4 }{ x^2-3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Bestimme die
\definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathl{f(x)}{.}
b) Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
von
\mathl{f(x)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Zeige, dass
\mathl{X^3+X^2+2}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in $\Z/(3) [X]$ ist.
b) Bestimme die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ X^4 }{ { \left( X^3+X^2+2 \right) }^2 } }} { }
in
\mathl{\Z/(3) (X)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Zeige, dass
\mathl{X^2+2}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in $\Z/(5) [X]$ ist.
b) Zeige, dass
\mathl{X^3+X+1}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in $\Z/(5) [X]$ ist.
c) Bestimme die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ { \left( X^2+2 \right) } { \left( X^3+X +1 \right) } } }} { }
in
\mathl{\Z/(5) (X)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Zeige, dass
\mathl{X^2+1}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in $\Q[X]$ ist.
b) Zeige, dass
\mathl{X^4+1}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in $\Q[X]$ ist.
\zusatzklammer {Tipp: In
\mathl{\R[X]}{} gilt die Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X^4+1
}
{ = }{ { \left( X^2+ \sqrt{2} X+1 \right) } { \left( X^2- \sqrt{2} X+1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {.} {}
c) Bestimme die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ { \left( X^2+1 \right) } { \left( X^4+1 \right) } } }} { }
in
\mathl{\Q(X)}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Finde eine Darstellung der
\definitionsverweis {rationalen Zahl}{}{}
\mathl{1/210}{} als Summe von rationalen Zahlen, deren Nenner
\definitionsverweis {Primzahlpotenzen}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ 1536 }{ 245 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Zeige, dass im
\definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{}
\mathl{K(X)}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ X^r-1 }{ X^r } }
}
{ =} { { \frac{ X-1 }{ X } } + { \frac{ X-1 }{ X^2 } } + \cdots + { \frac{ X-1 }{ X^{r-1 } }} + { \frac{ X-1 }{ X^r } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
und die
\definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X^4-1 }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
und die
\definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {\frac{ X^7+X^4-5X+3 }{ X^8+X^6-X^4-X^2 }} { . }
}
{} {}