Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 18

Übungsaufgaben

Aufgabe

Man gebe die Partialbruchzerlegung der Stammbrüche

$1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\ldots ,{\frac {1}{25}}$

an.

Aufgabe

Man gebe die Partialbruchzerlegung der Stammbrüche

${\frac {1}{10}},{\frac {1}{100}},{\frac {1}{1000}},{\frac {1}{10000}},...$

an.

Aufgabe

Finde eine Darstellung der rationalen Zahl ${}1/60$ als Summe von rationalen Zahlen, deren Nenner Primzahlpotenzen sind.

Aufgabe *

Zeige, dass die Gleichung

${}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,$

in ${}\mathbb {N}$ auch Lösungen ${}a\neq b$ besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass für Zahlen ${}n,r\in \mathbb {N} _{+}$ die Gleichheit

${}{\frac {n^{r}-1}{n^{r}}}={\frac {n-1}{n}}+{\frac {n-1}{n^{2}}}+\cdots +{\frac {n-1}{n^{r-1}}}+{\frac {n-1}{n^{r}}}\,$

gilt.

Was bedeutet die vorstehende Aufgabe bei ${}n=10$?

Aufgabe

Bestimme die Partialbruchzerlegung von

${\frac {100}{77}}.$

Aufgabe

Bestimme die Partialbruchzerlegung von

${\frac {999}{75}}.$

Aufgabe

Bestimme die Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X(X-1)}}$

über einem Körper ${}K$.

Aufgabe

Bestimme die Partialbruchzerlegung von

${\frac {3X^{5}+4X^{4}-2X^{2}+5X-6}{X^{3}}}.$

Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten in der Partialbruchzerlegung in Beispiel 18.9 durch Einsetzen von einigen Zahlen für ${}X$.

Aufgabe *

Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{x^{4}+1}}$

unter Verwendung der Zerlegung

${}x^{4}+1={\left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)}{\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right)}\,.$

Aufgabe

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X^{2}(X^{2}+1)}}.$

Aufgabe

Bestimme die komplexe Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X^{3}-1}}.$

Aufgabe

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X^{3}(X-1)^{3}}}.$

Aufgabe

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {X^{3}+4X^{2}+7}{X^{2}-X-2}}.$

Aufgabe

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X(X-1)(X-2)(X-3)}}.$

Aufgabe *

Es sei

${}f(x)={\frac {x^{3}+7x^{2}-5x+4}{x^{2}-3}}\,.$

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von ${}f(x)$.

b) Bestimme eine Stammfunktion von ${}f(x)$.

Aufgabe *

a) Zeige, dass ${}X^{3}+X^{2}+2$ irreduzibel in ${}\mathbb {Z} /(3)[X]$ ist.

b) Bestimme die Partialbruchzerlegung von

${\frac {X^{4}}{{\left(X^{3}+X^{2}+2\right)}^{2}}}$

in ${}\mathbb {Z} /(3)(X)$.

Aufgabe *

a) Zeige, dass ${}X^{2}+2$ irreduzibel in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$ ist.

b) Zeige, dass ${}X^{3}+X+1$ irreduzibel in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$ ist.

c) Bestimme die Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{{\left(X^{2}+2\right)}{\left(X^{3}+X+1\right)}}}$

in ${}\mathbb {Z} /(5)(X)$.

Aufgabe *

a) Zeige, dass ${}X^{2}+1$ irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$ ist.

b) Zeige, dass ${}X^{4}+1$ irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$ ist. (Tipp: In ${}\mathbb {R} [X]$ gilt die Zerlegung ${}X^{4}+1={\left(X^{2}+{\sqrt {2}}X+1\right)}{\left(X^{2}-{\sqrt {2}}X+1\right)}$.)

c) Bestimme die Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{{\left(X^{2}+1\right)}{\left(X^{4}+1\right)}}}$

in ${}\mathbb {Q} (X)$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Finde eine Darstellung der rationalen Zahl ${}1/210$ als Summe von rationalen Zahlen, deren Nenner Primzahlpotenzen sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Partialbruchzerlegung von

${\frac {1536}{245}}.$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass im Funktionenkörper ${}K(X)$ die Gleichheit

${}{\frac {X^{r}-1}{X^{r}}}={\frac {X-1}{X}}+{\frac {X-1}{X^{2}}}+\cdots +{\frac {X-1}{X^{r-1}}}+{\frac {X-1}{X^{r}}}\,$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X^{4}-1}}.$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {X^{7}+X^{4}-5X+3}{X^{8}+X^{6}-X^{4}-X^{2}}}.$