Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 21/latex
\setcounter{section}{21}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit endlicher
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es seien $n$ Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in $V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$.
}{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $V$.
}{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} sind
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $K[X]$ der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Menge aller Polynome vom Grad
\mathl{\leq d}{} ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
von
\mathl{K[X]}{} ist. Was ist seine
\definitionsverweis {Dimension}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge aller reellen
\definitionsverweis {Polynome}{}{} vom
\definitionsverweis {Grad}{}{} $\leq 4$, für die $-2$ und $3$ Nullstellen sind, ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} in
\mathl{\R[X]}{} ist. Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{} von diesem Vektorraum.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( W \right) }
}
{ = }{ m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Welche Dimension besitzt der
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
$V \times W$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{,}
und sei $v_1 , \ldots , v_n$ eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Zeige, dass die Vektorenfamilie
\mathdisp {v_1 , \ldots , v_n \text{ und } { \mathrm i} v_1 , \ldots , { \mathrm i} v_n} { }
eine Basis von $V$, aufgefasst als reeller Vektorraum, ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei die Standardbasis
\mathl{e_1,e_2,e_3,e_4}{} im $\R^4$ gegeben und die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\3\\ 0\\-4 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 5\\7 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -4 \\9\\ -5\\1 \end{pmatrix}} { . }
Zeige, dass diese Vektoren
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sind und ergänze sie mit einem geeigneten Standardvektor gemäß
Satz 21.2
zu einer
\definitionsverweis {Basis}{}{.}
Kann man jeden Standardvektor nehmen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1\\0 \end{pmatrix}, \, v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0\\0 \end{pmatrix}} {} {v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\1 \end{pmatrix}} {und} {v_4 = \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0\\0 \end{pmatrix}} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im $\R^4$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 3+5 { \mathrm i} \\1- { \mathrm i} \end{pmatrix}} {und} {v_2 = \begin{pmatrix} 2+3 { \mathrm i} \\4+ { \mathrm i} \end{pmatrix}} {} {} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im ${\mathbb C}^2$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Vektorenfamilien
\mathdisp {\mathfrak{ v } = \begin{pmatrix} 7 \\-4 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 8 \\1 \end{pmatrix} \text{ und } \mathfrak{ u } = \begin{pmatrix} 4 \\6 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 7 \\3 \end{pmatrix}} { }
im $\R^2$.
a) Zeige, dass sowohl $\mathfrak{ v }$ als auch $\mathfrak{ u }$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des $\R^2$ ist.
b) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derjenige Punkt, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten
\mathl{(-2,5)}{} besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis $\mathfrak{ u }$?
c) Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{,} die den \definitionsverweis {Basiswechsel}{}{} von $\mathfrak{ v }$ nach $\mathfrak{ u }$ beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass $V$ nicht zugleich eine endliche \definitionsverweis {Basis}{}{} und eine unendliche Basis besitzen kann.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass die Menge aller reellen
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$\leq 6$, für die $-1$, $0$ und $1$ Nullstellen sind, ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
in
\mathl{\R[X]}{} ist. Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{} von diesem Vektorraum.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei $v_1 , \ldots , v_m$ eine Familie von $m$ Vektoren in $V$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} {\langle v_i ,\, i = 1 , \ldots , m \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der davon
\definitionsverweis {aufgespannte Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass die Familie genau dann
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
von $U$ gleich $m$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 4 \\5\\ 1 \end{pmatrix}} {} {v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\3\\ -8 \end{pmatrix}} {und} {v_3 = \begin{pmatrix} 5 \\7\\ -3 \end{pmatrix}} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (3+1+2)}
{
Wir betrachten die Vektorenfamilien
\mathdisp {\mathfrak{ v } = \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 4 \\7\\ 1 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 0 \\2\\ 5 \end{pmatrix} \text{ und } \mathfrak{ u } = \begin{pmatrix} 0 \\2\\ 4 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 6 \\6\\ 1 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 3 \\5\\ -2 \end{pmatrix}} { }
im $\R^3$.
a) Zeige, dass sowohl $\mathfrak{ v }$ als auch $\mathfrak{ u }$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des $\R^3$ ist.
b) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derjenige Punkt, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten
\mathl{(2,5,4)}{} besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis $\mathfrak{ u }$?
c) Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{,} die den \definitionsverweis {Basiswechsel}{}{} von $\mathfrak{ v }$ nach $\mathfrak{ u }$ beschreibt.
}
{} {}