Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 21

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit endlicher Dimension

${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}\,.$

Es seien ${}n$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von ${}V$.
2. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$.
3. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}d\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Menge aller Polynome vom Grad ${}\leq d$ ein endlichdimensionaler Untervektorraum von ${}K[X]$ ist. Was ist seine Dimension?

Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller reellen Polynome vom Grad ${}\leq 4$, für die ${}-2$ und ${}3$ Nullstellen sind, ein endlichdimensionaler Untervektorraum in ${}\mathbb {R} [X]$ ist. Bestimme die Dimension von diesem Vektorraum.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume mit ${}\dim _{K}{\left(V\right)}=n$ und ${}\dim _{K}{\left(W\right)}=m$. Welche Dimension besitzt der Produktraum ${}V\times W$?

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Zeige, dass die Vektorenfamilie

$v_{1},\ldots ,v_{n}{\text{ und }}{\mathrm {i} }v_{1},\ldots ,{\mathrm {i} }v_{n}$

eine Basis von ${}V$, aufgefasst als reeller Vektorraum, ist.

Aufgabe

Es sei die Standardbasis ${}e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}$ im ${}\mathbb {R} ^{4}$ gegeben und die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}1\\3\\0\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\1\\5\\7\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}-4\\9\\-5\\1\end{pmatrix}}.$

Zeige, dass diese Vektoren linear unabhängig sind und ergänze sie mit einem geeigneten Standardvektor gemäß Satz 21.2 zu einer Basis. Kann man jeden Standardvektor nehmen?

Aufgabe *

Bestimme die Übergangsmatrizen ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${}{\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren

$v_{1}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},\,\,v_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{4}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}$

gegebene Basis ${}{\mathfrak {v}}$ im ${}\mathbb {R} ^{4}$.

Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrizen ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${}{\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren

$v_{1}={\begin{pmatrix}3+5{\mathrm {i} }\\1-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{2}={\begin{pmatrix}2+3{\mathrm {i} }\\4+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

gegebene Basis ${}{\mathfrak {v}}$ im ${}{\mathbb {C} }^{2}$.

Aufgabe

Wir betrachten die Vektorenfamilien

${\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}7\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}8\\1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{2}$.

a) Zeige, dass sowohl ${}{\mathfrak {v}}$ als auch ${}{\mathfrak {u}}$ eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist.

b) Es sei ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ derjenige Punkt, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}(-2,5)$ besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {u}}$?

c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {u}}$ beschreibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass ${}V$ nicht zugleich eine endliche Basis und eine unendliche Basis besitzen kann.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Menge aller reellen Polynome vom Grad ${}\leq 6$, für die ${}-1$, ${}0$ und ${}1$ Nullstellen sind, ein endlichdimensionaler Untervektorraum in ${}\mathbb {R} [X]$ ist. Bestimme die Dimension von diesem Vektorraum.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Familie von ${}m$ Vektoren in ${}V$ und sei

${}U=\langle v_{i},\,i=1,\ldots ,m\rangle \,$

der davon aufgespannte Untervektorraum. Zeige, dass die Familie genau dann linear unabhängig ist, wenn die Dimension von ${}U$ gleich ${}m$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${}{\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren

$v_{1}={\begin{pmatrix}4\\5\\1\end{pmatrix}},\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}2\\3\\-8\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{3}={\begin{pmatrix}5\\7\\-3\end{pmatrix}}$

gegebene Basis ${}{\mathfrak {v}}$ im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Vektorenfamilien

${\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\7\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\5\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}0\\2\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}6\\6\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\5\\-2\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

a) Zeige, dass sowohl ${}{\mathfrak {v}}$ als auch ${}{\mathfrak {u}}$ eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{3}$ ist.

b) Es sei ${}P\in \mathbb {R} ^{3}$ derjenige Punkt, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}(2,5,4)$ besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {u}}$?

c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {u}}$ beschreibt.