Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 28/latex
\setcounter{section}{28}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele \definitionsverweis {konstruierbare}{}{} Punkte gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass das Polynom
\mathdisp {X^3-3X-1} { }
über $\Q$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \leq }{ 30
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ob das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal
\definitionsverweis {konstruierbar}{}{}
ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe eine Liste aller natürlichen Zahlen $n$ zwischen
\mathl{100}{} und
\mathl{200}{} mit der Eigenschaft, dass das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges Zwölfeck.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche der Winkel
\mathdisp {10^{\circ}, \, 20^{\circ} , \, 30^{\circ} , \, 40^{\circ} , \ldots , 350^{\circ}} { }
sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $n$ eine zu
\mathl{360}{}
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
natürliche Zahl. Zeige, dass der Winkel
\mathl{n^{\circ}}{} nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe einen Winkel
\mathbed {a^{\circ}} {}
{0 < a < 1} {}
{} {} {} {,}
an, der mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\beta$ ein Winkel, der durch zwei konstruierbare \zusatzklammer {Halb} {} {-}Geraden durch den Nullpunkt gegeben ist. Zeige, dass die Drehung um den Nullpunkt um den Winkel $\beta$ konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} { \R^2 } { \R^2
} {}
eine Drehung um den Drehpunkt $P$ um den Winkel
\mathbed {\beta} {}
{0^{\circ} < \beta < 360^{\circ}} {}
{} {} {} {,}
mit der Eigenschaft, dass konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt werden.
a) Zeige, dass $P$ ein konstruierbarer Punkt ist.
b) Zeige, dass der Drehwinkel $\beta$ in dem Sinne konstruierbar ist, dass er als Winkel zwischen zwei konstruierbaren Geraden realisiert werden kann.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos 3 \alpha
}
{ =} { 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus den
Additionstheoremen
für die trigonometrischen Funktionen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine natürliche Zahl, für die das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar sei. Es sei eine Strecke $S$ durch zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges $n$-Eck $R$ derart, dass $S$ eine der Kanten von $R$ wird.
}
{} {Tipp:
Aufgabe 25.15
kann helfen.}
\inputaufgabe
{4}
{
Welche der Winkel
\mathdisp {1^{\circ}, \, 2^{\circ} , \, 3^{\circ} , \, 4^{\circ} , \ldots , 10^{\circ}} { }
sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?
}
{} {}