Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 28

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele konstruierbare Punkte gibt.

Aufgabe *

Zeige, dass das Polynom

$X^{3}-3X-1$

über ${}\mathbb {Q}$ irreduzibel ist.

Aufgabe

Bestimme für alle ${}n\leq 30$, ob das regelmäßige ${}n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist oder nicht.

Aufgabe

Man gebe eine Liste aller natürlichen Zahlen ${}n$ zwischen ${}100$ und ${}200$ mit der Eigenschaft, dass das regelmäßige ${}n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Aufgabe

Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges Zwölfeck.

Aufgabe

Welche der Winkel

$10^{\circ },\,20^{\circ },\,30^{\circ },\,40^{\circ },\ldots ,350^{\circ }$

sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?

Aufgabe *

Es sei ${}n$ eine zu ${}360$ teilerfremde natürliche Zahl. Zeige, dass der Winkel ${}n^{\circ }$ nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Aufgabe *

Man gebe einen Winkel ${}a^{\circ }$, ${}0<a<1$, an, der mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}\beta$ ein Winkel, der durch zwei konstruierbare (Halb)-Geraden durch den Nullpunkt gegeben ist. Zeige, dass die Drehung um den Nullpunkt um den Winkel ${}\beta$ konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt.

Aufgabe *

Es sei ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ und

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine Drehung um den Drehpunkt ${}P$ um den Winkel ${}\beta$, ${}0^{\circ }<\beta <360^{\circ }$, mit der Eigenschaft, dass konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt werden.

a) Zeige, dass ${}P$ ein konstruierbarer Punkt ist.

b) Zeige, dass der Drehwinkel ${}\beta$ in dem Sinne konstruierbar ist, dass er als Winkel zwischen zwei konstruierbaren Geraden realisiert werden kann.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Formel

${}\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha \,$

aus den Additionstheoremen für die trigonometrischen Funktionen.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ eine natürliche Zahl, für die das regelmäßige ${}n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar sei. Es sei eine Strecke ${}S$ durch zwei Punkte ${}P,Q\in E$ gegeben. Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges ${}n$-Eck ${}R$ derart, dass ${}S$ eine der Kanten von ${}R$ wird.

Tipp: Aufgabe 25.15 kann helfen.

Aufgabe (4 Punkte)

Welche der Winkel

$1^{\circ },\,2^{\circ },\,3^{\circ },\,4^{\circ },\ldots ,10^{\circ }$

sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?