Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass für beliebige reelle Zahlen die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{max} \left( \betrag { a-b } ,\, \betrag { b } \right)
}
{ \geq} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \operatorname{max} \left( \betrag { a } ,\, \betrag { b } \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\alpha
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{max} \left( \betrag { x- \alpha } ,\, 1 \right)
}
{ \geq} { c \cdot \operatorname{max} \left( \betrag { x } ,\, 1 \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $P(x)$ ein reelles Polynom vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$d$. Zeige, dass es eine positive reelle Zahl $c$ derart gibt, dass die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{max} \left( \betrag { P(x) } ,\, 1 \right)
}
{ \geq} { c \cdot \operatorname{max} \left( \betrag { x }^d ,\, 1 \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \in }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, ohne
den Hilbertschen Nullstellensatz
heranzuziehen, dass das von den
\definitionsverweis {Homogenisierungen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F,G
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {erzeugte Ideal}{}{}
Potenzen von $X$ und von $Y$ enthält.
}
{} {}
Im Falle eines Polynoms \zusatzklammer {anstatt einer rationalen Funktion} {} {} ergeben die beiden folgenden Aufgaben einen weiteren Beweis für Satz 22.1.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Zahlkörper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$d$ und
\mathl{\betrag { - }}{} ein
\definitionsverweis {Betrag}{}{}
auf $K$. Zeige, dass es eine positive reelle Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{max} \left( \betrag { F(x) } ,\, 1 \right)
}
{ \geq} { c \cdot \operatorname{max} \left( \betrag { x }^d ,\, 1 \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Satz 22.1 mit Hilfe von Aufgabe 21.5 für eine polynomiale Abbildung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe im Beweis zu Lemma 22.3 die Abschätzungen für die einzelnen Summanden durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über $\R$ nicht \zusatzklammer {als Gruppe} {} {} \definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$ nicht \zusatzklammer {als Gruppe} {} {} \definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Zahlkörper}{}{}
$K$, gegeben durch eine Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} { (X- \lambda_1)(X- \lambda_2)(X-\lambda_3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_i
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei eine reelle Einbettung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E (\R)
}
{ = }{ S^1 \uplus S^1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige reelle Kurve, vergleiche
Aufgabe 6.8.
Man gebe ein Beispiel, wo die eine reelle Zusammenhangskomponente von $E(\R)$ ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $E(K)$ enthält, die andere aber nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Zahlkörper}{}{}
$K$, gegeben durch eine Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} { (X- \lambda_1)(X- \lambda_2)(X-\lambda_3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_i
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei eine reelle Einbettung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E (\R)
}
{ = }{ S^1 \uplus S^1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige reelle Kurve, vergleiche
Aufgabe 6.8.
Man gebe ein Beispiel, wo die beiden reellen Zusammenhangskomponente von $E(\R)$ jeweils kein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $E(K)$ enthalten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Zahlkörper}{}{}
$K$, gegeben durch eine Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} { (X- \lambda_1)(X- \lambda_2)(X-\lambda_3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_i
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei eine reelle Einbettung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E (\R)
}
{ = }{ S^1 \uplus S^1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige reelle Kurve, vergleiche
Aufgabe 6.8.
Es sei $r$ der
\definitionsverweis {Rang}{}{}
der Kurve. Zeige, dass beide reellen Zusammenhangskomponenten von $E(\R)$ jeweils $r$ Elemente besitzen, die jeweils $E(K)$ modulo Torsion erzeugen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Zahlkörper}{}{}
$K$, gegeben durch eine Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} { (X- \lambda_1)(X- \lambda_2)(X-\lambda_3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_i
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei eine reelle Einbettung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E (\R)
}
{ = }{ S^1 \uplus S^1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige reelle Kurve, vergleiche
Aufgabe 6.8.
Zeige, dass der Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E(K)_0
}
{ \defeq} {E(K) \cap S^1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit derjenigen Komponente, die das neutrale Element ${\mathfrak O }$ enthält, eine Untergruppe von $E(K)$ ist und dass eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, E(K)_0 \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, E(K) \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Z/(2) \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über einem \definitionsverweis {Zahlkörper}{}{} $K$ und es seien \maabbdisp {\varphi_1, \varphi_2} {K} { \R } {} \definitionsverweis {reelle Einbettungen}{}{.} Zeige, dass die zugehörigen elliptischen Kurven \mathkor {} {E(\R)_1} {und} {E(\R)_2} {} nicht \definitionsverweis {homöomorph}{}{} \zusatzklammer {als topologischer Raum mit der metrischen Topologie} {} {} und nicht \definitionsverweis {isomorph}{}{} \zusatzklammer {als Gruppe} {} {} sein müssen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über einem \definitionsverweis {Zahlkörper}{}{} $K$ und es seien \maabbdisp {\varphi_1, \varphi_2} {K} { {\mathbb C} } {} \definitionsverweis {komplexe Einbettungen}{}{.} Zeige, dass zwischen den zugehörigen elliptischen Kurven \mathkor {} {E( {\mathbb C} )_1} {und} {E( {\mathbb C} )_2} {} ein \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} vorliegt.
}
{} {}