Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 22

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Aufgaben

Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte (dabei ist eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte. Zeige, dass die -te Hintereinanderschaltung des Frobeniushomomorphismus

durch mit gegeben ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte, und es sei eine -Algebra. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

vorliegt, wobei den Frobeniushomomorphismus bezeichnet.


Die in der vorstehenden Aufgabe ausgedrückte Vertauschbarkeit des Frobenius bringt mit sich, dass der Frobenius im Allgemeinen kein Algebrahomomorphismus ist. Dies ist insbesondere wenn der Grundring ein Körper ist nicht immer das, was man möchte, da man bei vielen Fragen die Elemente des Körpers, die „Konstanten“ eindeutig interpretieren möchte. Wenn der Grundkörper der Körper mit Elementen ist, so ist dies unproblematisch, da darauf der Frobenius die Identität ist. Bei einem algebraisch abgeschlossenen Grundkörper konkurrieren aber verschiedene Frobenius-Konzepte.

Aufgabe

Es sei ein Körper der positiven Charakteristik . Sei der Frobeniushomomorphismus. Zeige, dass genau die Elemente aus invariant unter sind.


Aufgabe

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

bezüglich einer geeigneten -Basis von für und bzw. .


Aufgabe

Es sei eine Primzahl mit und sei

die quadratische Körpererweiterung von . Zeige, dass die Konjugation mit dem Frobeniushomomorphismus übereinstimmt.


In den nächsten Aufgaben verwenden wir die folgende Definition.


Ein Körper heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom separabel ist.


Aufgabe

Es sei ein vollkommener Körper und eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass eine separable Körpererweiterung ist.


Aufgabe

Zeige, dass jeder Körper der Charakteristik vollkommen ist.


Aufgabe


Aufgabe

Zeige, dass ein endlicher Körper vollkommen ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper der Charakteristik . Zeige, dass genau dann vollkommen ist, wenn der Frobeniushomomorphismus auf surjektiv ist.


Aufgabe

Zeige, dass der Körper der rationalen Funktionen nicht vollkommen ist.


Aufgabe

Es sei , wir betrachten den Frobeniushomomorphismus

und dadurch als -Modul. Beschreibe die folgenden Polynome als -Linearkombination bezüglich der Basis .

  1. und
  2. und .
  3. und .
  4. und .

Es ist sinnvoll, ein eigenes Zeichen, etwa , für die Skalarmultiplikation einzuführen.

Aufgabe

Es sei die durch eine kurze Weierstraßgleichung

gegebene elliptische Kurve über einem Körper und es sei der zugehörige Funktionenkörper. Bestimme eine -Basis für den Frobeniushomomorphismus


Aufgabe

Es sei , wir betrachten den Frobeniushomomorphismus

und dadurch als -Modul. Bestimme eine Basis für diesen Modul.


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen und sei eine -Algebra mit dem -ten Frobeniushomomorphismus

Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass

im Allgemeinen nicht der -te Frobenius auf ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring der positiven Charakteristik . Zeige, dass die Spektrumsabbildung zum Frobeniushomomorphismus

eine Homöomorphie ist.


Aufgabe

Es sei eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper mit Elementen und es sei

der -te -lineare Frobenius.

  1. Zeige, dass es zu jedem ein gibt mit
  2. Zeige, dass es zu jedem ein gibt mit


Aufgabe *

Es sei eine elliptische Kurve über einem endlichen Körper , die durch eine Weierstraßgleichung mit gegeben sei. Zeige, dass es zu jedem ein Element in einer quadratischen Körpererweiterung derart gibt, dass ein -rationaler Punkt der Kurve ist.


Aufgabe

Bestimme für die durch die Gleichung gegebene elliptische Kurve (falls eine solche vorliegt) die Anzahl der Punkte für die Körper mit Elementen und vergleiche mit der Hasse-Schranke.


Aufgabe

Bestimme für die durch die Gleichung gegebene elliptische Kurve (falls eine solche vorliegt) die Anzahl der Punkte für die Körper mit Elementen und vergleiche mit der Hasse-Schranke.


Aufgabe *

Es sei eine elliptische Kurve über , eine Primzahl. Es gebe in ein Element der Ordnung . Zeige, dass dann sämtliche Elemente die Ordnung besitzen.



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