Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 23/latex
\setcounter{section}{23}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
der einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der positiven
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthalte
\zusatzklammer {dabei ist $p$ eine Primzahl} {} {.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {R} {R
} {f} {f^p
} {,}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
ist, den man den \stichwort {Frobeniushomomorphismus} {} nennt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
der einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der positiven
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthalte. Zeige, dass die $e$-te
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
des
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {F} {R} {R
} {f} {f^p
} {,}
durch
\mathl{f \mapsto f^q}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{p^e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
der einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der positiven
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthalte, und es sei $A$ eine
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} R & \stackrel{ F }{\longrightarrow} & R & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ A & \stackrel{ F }{\longrightarrow} & A & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vorliegt, wobei $F$ den
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
bezeichnet.
}
{} {}
Die in der vorstehenden Aufgabe ausgedrückte Vertauschbarkeit des Frobenius bringt mit sich, dass der Frobenius im Allgemeinen kein \definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} ist. Dies ist insbesondere wenn der Grundring ein Körper ist nicht immer das, was man möchte, da man bei vielen Fragen die Elemente des Körpers, die \anfuehrung{Konstanten}{} eindeutig interpretieren möchte. Wenn der Grundkörper der Körper mit $p$ Elementen ist, so ist dies unproblematisch, da darauf der Frobenius die Identität ist. Bei einem algebraisch abgeschlossenen Grundkörper konkurrieren aber verschiedene Frobenius-Konzepte.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der positiven
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$p$. Sei
\maabb {F} {K} {K
} {}
der
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{.}
Zeige, dass genau die Elemente aus
\mathl{\Z/(p)}{} invariant unter $F$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
des
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\Phi} {{\mathbb F}_q} {{\mathbb F}_q
} {}
bezüglich einer geeigneten
${\mathbb F}_p$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von ${\mathbb F}_q$ für
\mathl{p=2}{} und
\mathl{q=4}{} bzw.
\mathl{q=8}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{ 3 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(p)
}
{ \subseteq} { \Z/(p) [ { \mathrm i} ]
}
{ =} { \Z/(p) [X]/ { \left( X^2+1 \right) }
}
{ =} { {\mathbb F}_{ p^2 }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
von $\Z/(p)$. Zeige, dass die Konjugation
\mathl{{ \mathrm i} \mapsto - { \mathrm i}}{} mit dem
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
\mathl{f \mapsto f^p}{} übereinstimmt.
}
{} {}
In den nächsten Aufgaben verwenden wir die folgende Definition.
Ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ heißt \definitionswort {vollkommen}{,} wenn jedes
\definitionsverweis {irreduzible Polynom}{}{}
\mathl{P \in K[X]}{}
\definitionsverweis {separabel}{}{}
ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {vollkommener Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jeder \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jeder \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossene Körper}{}{} \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$. Zeige, dass $K$ genau dann \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} auf $K$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Körper
\mathl{{\mathbb F}_p(X)}{} der rationalen Funktionen nicht
\definitionsverweis {vollkommen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ \Z/(p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wir betrachten den
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {K[X]} { K[X]
} {}
und dadurch $K[X]$ als
$K[X]$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Beschreibe die folgenden Polynome $F$ als
$K[X]$-\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
bezüglich der Basis
\mathl{X^0,X^1 , \ldots , X^{p-1}}{.}
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ 2 +2X^1 +X^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{X^5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ X^3+X^4+X^9
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ 2X^2 +X^3+ X^5+2X^7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {Es ist sinnvoll, ein eigenes Zeichen, etwa $\bullet$, für die Skalarmultiplikation einzuführen.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ die durch eine
\definitionsverweis {kurze Weierstraßgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} {X^3+aX+b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über einem Körper $\Z/(p)$ und es sei $Q(E)$ der zugehörige
\definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{.}
Bestimme eine
$Q(E)$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
für den
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {F} {Q(E)} { Q(E)
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ \Z/(p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wir betrachten den
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {K[X_1 , \ldots , X_n ]} { K[X_1 , \ldots , X_n ]
} {}
und dadurch $K[X_1 , \ldots , X_n ]$ als
$K[X_1 , \ldots , X_n ]$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
für diesen Modul.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein endlicher Körper mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{p^e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elementen und sei $A$ eine
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
mit dem $e$-ten
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {F^e} {A} {A
} {.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass
\maabbdisp {F^e \otimes_KL} { A \otimes
\operatorname{Id}_{ L } } { A \otimes_KL
} {}
im Allgemeinen nicht der $e$-te Frobenius auf
\mathl{A \otimes_KL}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
der
\definitionsverweis {positiven Charakteristik}{}{}
\mathl{p >0}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
zum
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {R} {R
} {f} {f^p
} {,}
eine
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über dem
\definitionsverweis {endlichen Körper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ {\mathbb F}_{ q }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{p^e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elementen und es sei
\maabbdisp {\Phi} { E_{ \overline{ K } } } { E_{ \overline{ K } }
} {}
der $e$-te
${ \overline{ K } }$-\definitionsverweis {lineare Frobenius}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Tor}_{ r } { \left( E({ \overline{ K } }) \right) }
}
{ \subseteq} { \operatorname{kern} \left(
\operatorname{Id}_{ E_{ \overline{ K } } } - \Phi^s \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
} {Zeige, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \left(
\operatorname{Id}_{ E_{ \overline{ K } } } - \Phi^s \right)
}
{ \subseteq} { \operatorname{Tor}_{ r } { \left( E({ \overline{ K } }) \right) }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in
Beispiel 23.7
die Abbildung
\mathl{\operatorname{Id}_{ E_{ \overline{ \Z/(5) } } } - \Phi}{} mit der Verdoppelungsabbildung übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über einem
\definitionsverweis {endlichen Körper}{}{}
$K$, die durch eine Weierstraßgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y^2
}
{ = }{ X^3+aX+b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben sei. Zeige, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einer
\definitionsverweis {quadratischen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mathl{(x,y)}{} ein
$L$-\definitionsverweis {rationaler Punkt}{}{}
der Kurve ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ = }{X^3+X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
\zusatzklammer {falls eine solche vorliegt} {} {}
die Anzahl der Punkte für die Körper mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ 2,3, 5,7,11,13
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elementen und vergleiche mit
der Hasse-Schranke.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ = }{X^3+2X-3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
\zusatzklammer {falls eine solche vorliegt} {} {}
die Anzahl der Punkte für die Körper mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ 2,3, 5,7,11,13
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elementen und vergleiche mit
der Hasse-Schranke.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über $\Z/(p)$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \geq }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Es gebe in $E( \Z/(p) )$ ein Element der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$p$. Zeige, dass dann sämtliche Elemente $\neq {\mathfrak O }$ die Ordnung $p$ besitzen.
}
{} {}