Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+X/Z mod 5/Anzahl und Grad/Beispiel

WIr betrachten die durch die Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}+X\,$

über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(5)$ gegebene elliptische Kurve ${}E$. Wegen

${}h(X)=X^{3}+X=X(X+2)(X+3)\,$

liegt in der Tat Glattheit vor. Die über ${}\mathbb {Z} /(5)$ definierten Punkte sind

${\mathfrak {O}},(0,0),(3,0),(2,0),$

was nach Fakt genau die vier Torsionspunkte zur Ordnung ${}2$ sind. Der Frobenius ist durch ${}X\mapsto X^{5},\,Y\mapsto Y^{5}$ gegeben und besitzt nach Fakt den Grad ${}5$, auf der Punktebene ist es die Abbildung

$\Phi \colon E_{\overline {\mathbb {Z} /(5)}}\longrightarrow E_{\overline {\mathbb {Z} /(5)}},\,(x,y)\longmapsto (x^{5},y^{5}).$

Entsprechend wird die Abbildung ${}\operatorname {Id} _{E_{\overline {\mathbb {Z} /(5)}}}-\Phi$ durch

$\Phi \colon E_{\overline {\mathbb {Z} /(5)}}\longrightarrow E_{\overline {\mathbb {Z} /(5)}},\,(x,y)\longmapsto (x,y)-(x^{5},y^{5}),$

gegeben. Unter Verwendung von Fakt ist

${}(x,y)-(x^{5},y^{5})=(x,y)+(x^{5},-y^{5})=\left(\alpha ^{2}-x-x^{5},\,-\alpha ^{3}+\alpha (x+x^{5})-y+\alpha x\right)\,$

mit ${}\alpha ={\frac {-y^{5}-y}{x^{5}-x}}={\frac {x^{2}+x^{6}+x^{10}+1}{-y^{5}+y}}$. Nach Fakt ist der Grad dieser Abbildung gleich ${}4$. Diese Abbildung stimmt mit der Verdoppelungsabbildung überein, siehe Aufgabe.