Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 23
- Aufgaben
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte (dabei ist eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung
ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte. Zeige, dass die -te Hintereinanderschaltung des Frobeniushomomorphismus
durch mit gegeben ist.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte, und es sei eine - Algebra. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
vorliegt, wobei den Frobeniushomomorphismus bezeichnet.
Die in der vorstehenden Aufgabe ausgedrückte Vertauschbarkeit des Frobenius bringt mit sich, dass der Frobenius im Allgemeinen kein
Algebrahomomorphismus
ist. Dies ist insbesondere wenn der Grundring ein Körper ist nicht immer das, was man möchte, da man bei vielen Fragen die Elemente des Körpers, die „Konstanten“ eindeutig interpretieren möchte. Wenn der Grundkörper der Körper mit Elementen ist, so ist dies unproblematisch, da darauf der Frobenius die Identität ist. Bei einem algebraisch abgeschlossenen Grundkörper konkurrieren aber verschiedene Frobenius-Konzepte.
Aufgabe
Es sei ein Körper der positiven Charakteristik . Sei der Frobeniushomomorphismus. Zeige, dass genau die Elemente aus invariant unter sind.
Aufgabe
Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus
bezüglich einer geeigneten - Basis von für und bzw. .
Aufgabe
Es sei eine Primzahl mit und sei
die quadratische Körpererweiterung von . Zeige, dass die Konjugation mit dem Frobeniushomomorphismus übereinstimmt.
In den nächsten Aufgaben verwenden wir die folgende Definition.
Ein Körper heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom separabel ist.
Aufgabe
Es sei ein vollkommener Körper und eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass eine separable Körpererweiterung ist.
Aufgabe
Zeige, dass jeder Körper der Charakteristik vollkommen ist.
Aufgabe
Zeige, dass jeder algebraisch abgeschlossene Körper vollkommen ist.
Aufgabe
Zeige, dass ein endlicher Körper vollkommen ist.
Aufgabe *
Es sei ein Körper der Charakteristik . Zeige, dass genau dann vollkommen ist, wenn der Frobeniushomomorphismus auf surjektiv ist.
Aufgabe
Zeige, dass der Körper der rationalen Funktionen nicht vollkommen ist.
Aufgabe
Es sei , wir betrachten den Frobeniushomomorphismus
und dadurch als - Modul. Beschreibe die folgenden Polynome als - Linearkombination bezüglich der Basis .
- und
- und .
- und .
- und .
Es ist sinnvoll, ein eigenes Zeichen, etwa , für die Skalarmultiplikation einzuführen.
Aufgabe
Es sei die durch eine kurze Weierstraßgleichung
gegebene elliptische Kurve über einem Körper und es sei der zugehörige Funktionenkörper. Bestimme eine - Basis für den Frobeniushomomorphismus
Aufgabe
Es sei , wir betrachten den Frobeniushomomorphismus
und dadurch als - Modul. Bestimme eine Basis für diesen Modul.
Aufgabe
Es sei ein endlicher Körper mit Elementen und sei eine - Algebra mit dem -ten Frobeniushomomorphismus
Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass
im Allgemeinen nicht der -te Frobenius auf ist.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring der positiven Charakteristik . Zeige, dass die Spektrumsabbildung zum Frobeniushomomorphismus
eine Homöomorphie ist.
Aufgabe
Es sei eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper mit Elementen und es sei
der -te - lineare Frobenius.
- Zeige, dass es zu jedem
ein
gibt mit
- Zeige, dass es zu jedem
ein
gibt mit
Aufgabe
Zeige, dass in Beispiel 23.7 die Abbildung mit der Verdoppelungsabbildung übereinstimmt.
Aufgabe *
Es sei eine elliptische Kurve über einem endlichen Körper , die durch eine Weierstraßgleichung mit gegeben sei. Zeige, dass es zu jedem ein Element in einer quadratischen Körpererweiterung derart gibt, dass ein - rationaler Punkt der Kurve ist.
Aufgabe
Bestimme für die durch die Gleichung gegebene elliptische Kurve (falls eine solche vorliegt) die Anzahl der Punkte für die Körper mit Elementen und vergleiche mit der Hasse-Schranke.
Aufgabe
Bestimme für die durch die Gleichung gegebene elliptische Kurve (falls eine solche vorliegt) die Anzahl der Punkte für die Körper mit Elementen und vergleiche mit der Hasse-Schranke.
Aufgabe *
Es sei eine elliptische Kurve über , eine Primzahl. Es gebe in ein Element der Ordnung . Zeige, dass dann sämtliche Elemente die Ordnung besitzen.
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