Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 24/latex
\setcounter{section}{24}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die Koeffizienten der Zetafunktion
\mathdisp {\exp \left( \sum_{ r = 1}^\infty N_r { \frac{ t^r }{ r } } \right)} { }
bis zum fünften Glied.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Weilsche Zeta-Funktion}{}{} für die einpunktige Varietät über $\Z/(p)$ mit \definitionsverweis {Restekörper}{}{} $\Z/(p)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Weilsche Zeta-Funktion}{}{} für die einpunktige Varietät über ${\mathbb F}_{ p^e }$ mit \definitionsverweis {Restekörper}{}{} ${\mathbb F}_{ p^e }$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Weilsche Zeta-Funktion}{}{} für die einpunktige Varietät über $\Z/(p)$ mit \definitionsverweis {Restekörper}{}{} ${\mathbb F}_{ p^e }$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{X_1 \uplus X_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die disjunkte Vereinigung der Varietäten
\mathkor {} {X_1} {und} {X_2} {}
über dem
\definitionsverweis {endlichen Körper}{}{}
\mathl{{\mathbb F}_{ q }}{.} In welcher Beziehung stehen die
\definitionsverweis {Zeta-Funktionen}{}{}
von
\mathkor {} {X_1} {und} {X_2} {}
zur Zeta-Funktion von $X_1 \uplus X_2$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Weilsche Zeta-Funktion}{}{}
für die Produktvarietät
\mathl{{\mathbb P}^{1}_{ \Z/(p)} \times {\mathbb P}^{1}_{ \Z/(p)}}{} über $\Z/(p)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Reihe
\mathl{\sum_{r = 1}^\infty { \frac{ N_r }{ r } } t^r}{,} wobei $N_r$ die Anzahl der
${\mathbb F}_{ q^r }$-\definitionsverweis {rationalen Punkte}{}{}
des projektiven Raumes ${\mathbb P}^{n}_{{\mathbb F}_{ q } }$ bezeichnet, für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { t }
}
{ < }{ { \frac{ 1 }{ q^n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine projektive Varietät über einem endlichen Körper ${\mathbb F}_{ q }$ und sei $N_r$ die Anzahl der
${\mathbb F}_{ q^r }$-\definitionsverweis {rationalen Punkte}{}{}
von $X$. Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass die Reihe
\mathl{\sum_{r = 1}^\infty { \frac{ N_r }{ r } } t^r}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { t }
}
{ < }{ { \frac{ 1 }{ m } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über $\Z/(p)$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_{p^r}
}
{ \defeq} { p^r + 1 - { \# \left( E( {\mathbb F}_{ p^r } ) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass diese Zahlen
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{b_{p^0}
}
{ = }{b_1
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die rekursive Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_{p^{r+1} }
}
{ =} { b_p \cdot b_{p^r} - p \cdot b_{p^{r-1} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {\alpha} {und} {\beta} {}
komplexe Zahlen mit der Eigenschaft, dass sowohl
\mathkor {} {\alpha + \beta} {als auch} {\alpha \cdot \beta} {}
ganzzahlig sind. Zeige, dass dann zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch
\mathkor {} {\alpha^n + \beta^n} {und} {\alpha^n \cdot \beta^n} {}
ganzzahlig sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die Hasseschranke mit Hilfe von Satz 24.3.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} {X^3+X
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
$E$ über $\Z/(5)$.
\aufzaehlungvier{Bestimme die Anzahl der
$\Z/(5)$-\definitionsverweis {rationalen Punkte}{}{}
von $E$.
}{Bestimme die
\definitionsverweis {Zeta-Funktion}{}{}
von $E$.
}{Erstelle eine Formel für die Anzahl der ${\mathbb F}_{ 5^r }$-rationalen Punkte von $E$ für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Bestimme die Anzahl der ${\mathbb F}_{ 5^r }$-rationalen Punkte von $E$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{2,3,4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}