Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 24

Aufgaben

Aufgabe

Berechne die Koeffizienten der Zetafunktion

$\exp \left(\sum _{r=1}^{\infty }N_{r}{\frac {t^{r}}{r}}\right)$

bis zum fünften Glied.

Aufgabe

Bestimme die Weilsche Zeta-Funktion für die einpunktige Varietät über ${}\mathbb {Z} /(p)$ mit Restekörper ${}\mathbb {Z} /(p)$.

Aufgabe

Bestimme die Weilsche Zeta-Funktion für die einpunktige Varietät über ${}{\mathbb {F} }_{p^{e}}$ mit Restekörper ${}{\mathbb {F} }_{p^{e}}$.

Aufgabe *

Bestimme die Weilsche Zeta-Funktion für die einpunktige Varietät über ${}\mathbb {Z} /(p)$ mit Restekörper ${}{\mathbb {F} }_{p^{e}}$.

Aufgabe

Es sei ${}X=X_{1}\uplus X_{2}$ die disjunkte Vereinigung der Varietäten ${}X_{1}$ und ${}X_{2}$ über dem endlichen Körper ${}{\mathbb {F} }_{q}$. In welcher Beziehung stehen die Zeta-Funktionen von ${}X_{1}$ und ${}X_{2}$ zur Zeta-Funktion von ${}X_{1}\uplus X_{2}$?

Aufgabe

Bestimme die Weilsche Zeta-Funktion für die Produktvarietät ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {Z} /(p)}^{1}\times {\mathbb {P} }_{\mathbb {Z} /(p)}^{1}$ über ${}\mathbb {Z} /(p)$.

Aufgabe

Zeige, dass die Reihe ${}\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {N_{r}}{r}}t^{r}$, wobei ${}N_{r}$ die Anzahl der ${}{\mathbb {F} }_{q^{r}}$- rationalen Punkte des projektiven Raumes ${}{\mathbb {P} }_{{\mathbb {F} }_{q}}^{n}$ bezeichnet, für ${}\vert {t}\vert <{\frac {1}{q^{n}}}$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine projektive Varietät über einem endlichen Körper ${}{\mathbb {F} }_{q}$ und sei ${}N_{r}$ die Anzahl der ${}{\mathbb {F} }_{q^{r}}$- rationalen Punkte von ${}X$. Zeige, dass es ein ${}m\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass die Reihe ${}\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {N_{r}}{r}}t^{r}$ für ${}\vert {t}\vert <{\frac {1}{m}}$ konvergiert.

Aufgabe *

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {Z} /(p)$ und sei

${}b_{p^{r}}:=p^{r}+1-{\#\left(E({\mathbb {F} }_{p^{r}})\right)}\,.$

Zeige, dass diese Zahlen (mit ${}b_{p^{0}}=b_{1}=2$) für ${}r\geq 2$ die rekursive Bedingung

${}b_{p^{r+1}}=b_{p}\cdot b_{p^{r}}-p\cdot b_{p^{r-1}}\,$

erfüllen.

Aufgabe *

Es seien ${}\alpha$ und ${}\beta$ komplexe Zahlen mit der Eigenschaft, dass sowohl ${}\alpha +\beta$ als auch ${}\alpha \cdot \beta$ ganzzahlig sind. Zeige, dass dann zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ auch ${}\alpha ^{n}+\beta ^{n}$ und ${}\alpha ^{n}\cdot \beta ^{n}$ ganzzahlig sind.

Aufgabe

Beweise die Hasseschranke mit Hilfe von Satz 24.3.

Aufgabe *

Wir betrachten die durch die Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}+X\,$

gegebene elliptische Kurve ${}E$ über ${}\mathbb {Z} /(5)$.

1. Bestimme die Anzahl der ${}\mathbb {Z} /(5)$- rationalen Punkte von ${}E$.
2. Bestimme die Zeta-Funktion von ${}E$.
3. Erstelle eine Formel für die Anzahl der ${}{\mathbb {F} }_{5^{r}}$-rationalen Punkte von ${}E$ für jedes ${}r\in \mathbb {N} _{+}$.
4. Bestimme die Anzahl der ${}{\mathbb {F} }_{5^{r}}$-rationalen Punkte von ${}E$ für ${}r=2,3,4$.