Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 24

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Aufgaben

Aufgabe

Berechne die Koeffizienten der Zetafunktion

bis zum fünften Glied.


Aufgabe

Bestimme die Weilsche Zeta-Funktion für die einpunktige Varietät über mit Restekörper .


Aufgabe

Bestimme die Weilsche Zeta-Funktion für die einpunktige Varietät über mit Restekörper .


Aufgabe *

Bestimme die Weilsche Zeta-Funktion für die einpunktige Varietät über mit Restekörper .


Aufgabe

Es sei die disjunkte Vereinigung der Varietäten und über dem endlichen Körper . In welcher Beziehung stehen die Zeta-Funktionen von und zur Zeta-Funktion von ?


Aufgabe

Bestimme die Weilsche Zeta-Funktion für die Produktvarietät über .


Aufgabe

Zeige, dass die Reihe , wobei die Anzahl der -rationalen Punkte des projektiven Raumes bezeichnet, für konvergiert.


Aufgabe

Es sei eine projektive Varietät über einem endlichen Körper und sei die Anzahl der -rationalen Punkte von . Zeige, dass es ein derart gibt, dass die Reihe für konvergiert.


Aufgabe *

Es sei eine elliptische Kurve über und sei

Zeige, dass diese Zahlen (mit ) für die rekursive Bedingung

erfüllen.


Aufgabe *

Es seien und komplexe Zahlen mit der Eigenschaft, dass sowohl als auch ganzzahlig sind. Zeige, dass dann zu jedem auch und ganzzahlig sind.


Aufgabe

Beweise die Hasseschranke mit Hilfe von Satz 24.3.


Aufgabe *

Wir betrachten die durch die Gleichung

gegebene elliptische Kurve über .

  1. Bestimme die Anzahl der -rationalen Punkte von .
  2. Bestimme die Zeta-Funktion von .
  3. Erstelle eine Formel für die Anzahl der -rationalen Punkte von für jedes .
  4. Bestimme die Anzahl der -rationalen Punkte von für .



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