Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Verschiedenes

Satz

Es seien ${}C,D\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ kubische projektive Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$, die sich in neun Punkten schneiden. Es sei ${}D'$ eine weitere kubische Kurve, die durch acht der Schnittpunkte verläuft.

Dann verläuft ${}D'$ auch durch den neunten Schnittpunkt.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2$ und es seien ${}p,q$ teilerfremde Polynome aus ${}K[X]$ mit der Eigenschaft, dass vier projektiv verschiedene ${}K$-lineare Kombinationen ${}r_{i}p+s_{i}q$, ${}i=1,2,3,4$, Quadrate sind.

Dann sind ${}p,q$ Konstanten.

Beweis

Wir können annehmen, dass ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist. Wir nehmen an, dass es eine solche Konfiguration aus vier Quadraten gibt, in der nicht ${}p$ und ${}q$ konstant sind. Dann gibt es auch eine solche Konfiguration, wo ${}\operatorname {max} \left(\operatorname {grad} \,(p),\,\operatorname {grad} \,(q)\right)$ minimal ist. Im Widerspruch dazu werden wir zeigen, dass man aus einer solchen Konfiguration eine Konfiguration konstruieren kann, in der das Maximum der Grade kleiner wird (und positiv bleibt).

Es sei also eine Konfiguration wie im Satz formuliert gegeben, wir betrachten die zugehörigen Koordinatentupel ${}(r_{i},s_{i})$, ${}i=1,2,3,4$, als Punkte auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$. Durch einen projektiv-linearen Automorphismus der projektiven Gerade können wir erreichen, dass die Punkte zu ${}(1,0),(0,1),(1,-1),(1,-\lambda )$ mit ${}\lambda \neq 0,1$ werden. Die vier Quadrate sind dann ${}p,q,p-q,p-\lambda q$. Wir schreiben ${}p=u^{2}$, ${}q=v^{2}$ und damit

${}p-q=u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v)\,$

und

${}p-\lambda q=u^{2}-\lambda v^{2}=(u-\delta v)(u+\delta v)\,$

mit ${}\delta ^{2}=\lambda$. Wegen der Teilerfremdheit von ${}p$ und ${}q$ sind auch ${}u$ und ${}v$ teilerfremd und damit auch ${}u-v$ und ${}u+v$ und ${}u-\delta v$ und ${}u+\delta v$. Da ${}p-q$ und ${}p-\lambda q$ Quadrate sind, folgt daraus, dass auch ${}u-v,u+v,u-\delta v$ und ${}u+\delta v$ allesamt Quadrate sind. Wir haben also eine neue Konfiguration mit kleinerem Grad gefunden.

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