In der mathematischen Analysis gehört die höldersche Ungleichung zusammen mit der Minkowski-Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen für Lp-Räume. Sie wurde zuerst von Leonard James Rogers im Jahre 1888 bewiesen, benannt ist sie nach Otto Hölder, der sie ein Jahr später veröffentlichte[1].
Dieser Abschnitt behandelt die Verallgemeinerung der Ungleichungen
- mit und
bzw. der Formulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung als Spezialfall mit und
Höldersche Ungleichung in endlichdimensionalen Vektorräumen
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Gegeben sei ein Prähilbertraum und zwei beliebige Vektoren mit .
Für definiert man
Die Hölder-Ungleichung lautet dann: für mit , wobei vereinbart ist, gilt
Höldersche Ungleichung in Folgenräumen
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Gegeben sei ein Prähilbertraum und zwei beliebige Vektoren mit .
Für definiert man
Die Hölder-Ungleichung lautet dann: für mit , wobei vereinbart ist, gilt
Beweis 1 - Höldersche Ungleichung in Folgenräumen
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Seien gewählt. Ohne Einschränkung seien und . Nach der youngschen Ungleichung gilt:
für alle . Setze hierin speziell ein.
Beweis 2 - Höldersche Ungleichung in Folgenräumen
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Summation liefert mit der youngschen Ungleichung
Durch Multiplikation mit der p-Norm bzw. q-Norm erhält man die höldersche Ungleichung für Folgenräume.
Gegeben sei ein Maßraum und messbare Funktionen
Für und mit der Konvention definiert man
und
das wesentliche Supremum. Die Hölder-Ungleichung lautet dann: für mit , wobei vereinbart ist, gilt
Man bezeichnet als den zu konjugierten Hölder-Exponenten. Spezieller wird die Ungleichung auch wie folgt formuliert: Ist der Raum der -fach Lebesgue-integrierbaren Funktionen (siehe Lp-Raum) und ist die Lp-Norm, so gilt für immer
- .
Wählt man als Maßraum , also ein reelles Intervall versehen mit dem Lebesgue-Maß und zwei Funktionen , so lautet die Hölder-Ungleichung mit
Dies ist genau die Schwarzsche Ungleichung beziehungsweise die Integralformulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.
Wählt man als Maßraum die endliche Menge , versehen mit der Potenzmenge und ausgestattet mit dem Zählmaß, so erhält man als Spezialfall die Ungleichung
gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen . Für erhält man die Cauchy-Ungleichung (beziehungsweise die diskrete Formulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung)
Wählt man als Grundmenge des Maßraumes die natürlichen Zahlen , wieder versehen mit der Potenzmenge und dem Zählmaß, so erhält man die Höldersche Ungleichung für Reihen
- .
für reelle oder komplexe Folgen . Im Grenzfall entspricht dies
- .
Es seien sowie und für alle .
Dann folgt
und es gilt die Abschätzung
Als Korollar dieser Verallgemeinerung ergibt sich der folgende Satz.
Falls eine Familie von Folgen nicht-negativer reeller Zahlen ist, und nicht-negative reelle Zahlen mit sind, so gilt
Es sei für fast alle .
Dann gilt für alle die umgekehrte höldersche Ungleichung
Für (und umgekehrt) ist die Aussage der hölderschen Ungleichung trivial. Wir nehmen daher an, dass gilt. Ohne Einschränkung seien und . Nach der youngschen Ungleichung gilt:
für alle . Setze hierin speziell ein. Integration liefert
was die höldersche Ungleichung impliziert.
Der Beweis wird per vollständiger Induktion über geführt. Der Fall ist trivial. Sei also nun und ohne Einschränkung sei . Dann sind zwei Fälle zu unterscheiden:
Fall 1: Dann ist Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann
Fall 2: . Nach der (üblichen) hölderschen Ungleichung für die Exponenten gilt
also . Nun ist . Aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich somit der Induktionsschritt.
Beweis der umgekehrten hölderschen Ungleichung
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Die umgekehrte höldersche Ungleichung ergibt sich aus der (üblichen) hölderschen Ungleichung, indem man als Exponenten und wählt. Man erhält damit:
Umstellen und potenzieren dieser Ungleichung mit liefert die umgekehrte höldersche Ungleichung.
Mit der hölderschen Ungleichung kann man die Minkowski-Ungleichung (das ist die Dreiecksungleichung im ) leicht beweisen.
Interpolationsungleichung für Lebesgue-Funktionen
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Seien und , dann folgt und es gilt die Interpolationsungleichung
mit beziehungsweise für .
Beweis: Ohne Einschränkung sei . Fixiere mit . Beachte, dass und konjugierte Hölder-Exponenten sind. Aus der hölderschen Ungleichung folgt
- .
Potenzieren der Ungleichung mit und Ausrechnen der Exponenten impliziert die Interpolationsungleichung.
Beweis der Faltungsungleichung von Young
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Eine weitere typische Anwendung ist der Beweis der verallgemeinerten youngschen Ungleichung (für Faltungsintegrale)
für und .
- Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3.
- Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
- ↑ Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 277.
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