Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Anwendung

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, auch bekannt als Cauchy-Bunjakowski-Schwarz-Ungleichung, ist eine Ungleichung, die in vielen Bereichen der Mathematik verwendet wird, z. B. in der Linearen Algebra (Vektoren), in der Analysis (unendliche Reihen), in der Wahrscheinlichkeitstheorie sowie bei der Integration von Produkten. Außerdem spielt sie in der Quantenmechanik eine wichtige Rolle, wie etwa beim Beweis der Heisenbergschen Unschärferelation.

Namensgebung

Benannt ist die Ungleichung nach den Mathematikern Augustin-Louis Cauchy, Hermann Amandus Schwarz und Wiktor Jakowlewitsch Bunjakowski.

Allgemeiner Fall CS-UG

Sei $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ ein (Prä-)Hilbert-Raum. Wenn $x$ und $y$ Elemente eines reellen oder komplexen Prähilbertraum sind, dann gilt für das Skalarprodukt $\langle x,y\rangle$ die Beziehung

$\left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|\cdot \|y\|.$

Gleichheit gilt genau dann, wenn $x$ und $y$ linear abhängig sind.

Beweis

Der Beweis der Cauchy-Schwarz-Ungleichung wird im komplexen Fall geführt. Dafür betrachten wir beliebige $x,y\in V$ und ein beliebiges $\lambda \in \mathbb {C}$ und berechnen mit den Eigenschaften des Skalarproduktes die folgende Ungleichung.

Beweis 1 - Abschätzung nach oben mit Norm

Das Skalarprodukt ist hermitesch und unter Verwendung der Semilinearität in der 1. und der Lineariät in der 2. Komponente erhält man:

${\begin{array}{rcl}0\leq \left\|x+\lambda y\right\|^{2}&=&\left\langle x+\lambda y,x+\lambda y\right\rangle =\left\langle x,x+\lambda y\right\rangle +{\overline {\lambda }}\left\langle y,x+\lambda y\right\rangle \\&=&\left\langle x,x\right\rangle +\lambda \left\langle x,y\right\rangle +{\overline {\lambda }}\left\langle y,x\right\rangle +{\overline {\lambda }}\left\langle y,\lambda y\right\rangle \\&=&\left\|x\right\|^{2}+\lambda \left\langle x,y\right\rangle +{\overline {\lambda \left\langle x,y\right\rangle }}+\underbrace {{\overline {\lambda }}\cdot \lambda } _{=|\lambda |^{2}}\cdot \left\|y\right\|^{2}\end{array}}$

Beweis 2 - Fallunterscheidung

Für die folgenden Beweisschritt erfolgt eine Fallunterscheidung für

• $y=0_{V}$ und
• $y\not =0_{V}$ und

Beweis 2.1 - Fallunterscheidung

Für $y=0_{V}$ folgt unmittelbar

$|\langle x,0_{V}\rangle |=|\langle x,0\cdot 0_{V}\rangle |=0\cdot |\langle x,0_{V}\rangle |=\|x\|\cdot 0=\|x\|\cdot \|0_{V}\|$

Dabei wurde die Linearität in der zweiten Komponente und $\langle v,v\rangle =0\Longleftrightarrow v=0_{V}$ verwendet.

Beweis 2.2 - Fallunterscheidung

Sei $y\not =0_{V}$ und mit (1) erhalten wir folgende Ungleichung:

$0\leq \left\|x\right\|^{2}+\lambda \left\langle x,y\right\rangle +{\overline {\lambda \left\langle x,y\right\rangle }}+|\lambda |^{2}\cdot \left\|y\right\|^{2}$

wobei diese Gleichung für beliebige $x,y\in V$ und ein beliebiges $\lambda \in \mathbb {C}$ gilt. Wählen nun ein spezielle $\lambda :=-{\frac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\|y\|^{2}}}$ mit $y\not =0_{V}$.

Beweis 2.3 - Ungleichung für definiertes Lambda

${\begin{array}{rcl}0&\leq &\left\|x\right\|^{2}-{\frac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\|y\|^{2}}}\left\langle x,y\right\rangle -{\overline {{\frac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\|y\|^{2}}}\cdot \left\langle x,y\right\rangle }}+\left|-{\frac {\langle x,y\rangle }{\|y\|^{2}}}\right|^{2}\cdot \left\|y\right\|^{2}\\&=&\left\|x\right\|^{2}-{\frac {\langle x,y\rangle \cdot {\overline {\langle x,y\rangle }}}{\|y\|^{2}}}-{\frac {\langle x,y\rangle \cdot {\overline {\langle x,y\rangle }}}{\|y\|^{2}}}+\left|{\frac {\langle x,y\rangle }{\|y\|^{2}}}\right|^{2}\cdot \left\|y\right\|^{2}\\&=&\left\|x\right\|^{2}-2\cdot {\frac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{2}}}+{\frac {\left|\langle x,y\rangle \right|^{2}}{\|y\|^{2}}}\\&=&\left\|x\right\|^{2}-\left|{\frac {\langle x,y\rangle ^{2}}{\|y\|^{2}}}\right|\\\end{array}}$

Dabei wurde verwendet, dass $\lambda \cdot {\overline {\lambda }}=|\lambda |^{2}$ für beliebige $\lambda \in \mathbb {C}$ gilt.

Beweis 2.4 - Umformung zur CS-UG

Wegen $\|y\|^{2}>0$ bleibt bei Multiplikation mit $\|y\|^{2}$ die Ungleichung erhalten und man erhält aus:

$0\leq \left\|x\right\|^{2}-\left|{\frac {\langle x,y\rangle ^{2}}{\|y\|^{2}}}\right|$

die Ungleichung $\left|\langle x,y\rangle \right|^{2}\leq \left\|x\right\|^{2}\cdot \left\|y\right\|^{2}$ und damit auch die Behauptung:

$\left|\langle x,y\rangle \right|\leq \left\|x\right\|\cdot \left\|y\right\|$

Beweis 3 - Reeller Fall CS-UG

Im reellen Fall gilt ferner:

$\langle x,y\rangle \leq \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \left\|x\right\|\cdot \left\|y\right\|$

Für (Prä-)Hilberträume über $\mathbb {C}$ müssen die Beträge bestehen bleiben, da $\mathbb {C}$ kein vollständig geordneter Körper ist und $\langle x,y\rangle \in \mathbb {C}$ nicht notwendig reellwertig ist. q.e.d

Bemerkung: Semilinearität - Linearität

Die Festlegung, ob ein Skalarprodukt in der ersten oder zweiten Komponente semilinear oder linear ist, ist reine Konvention. Wenn man für die erste Komponente die Linearität und in der zweiten Komponente die Seminlinearität festlegt, dann verändert sich die Beweisführung ein wenig. Bei der CS-UG müsste man dann $\lambda \in \mathbb {C}$ mit $y\not =0_{V}$ wie folgt definieren:

$\lambda :=-{\frac {\langle x,y\rangle }{\|y\|^{2}}}$

Äquivalente Formulierung

Zu der Cauchy-Schwarz-Ungleichung

$\left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|\cdot \|y\|.$

gibt es äquivalente Fomrulierungen. Diese werden im Folgenden genannt.

Äquivalente Formulierung 1

Äquivalente Formulierungen erhält man unter Verwendung der von dem Skalarprodukt induzierten Norm $\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$:

$|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$

$|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}\cdot \|y\|^{2}$

Äquivalente Formulierung 2

Sei $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ ein Hilbertraum über $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$:

$\left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|\cdot \|y\|.$

Im reellen Fall $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ kann man auf die Betragsstriche verzichten:

$\langle x,y\rangle \leq \|x\|\cdot \|y\|$.

Im komplexen Fall müssen die Beträge verwendet werden, da $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ keine vollständige Ordnung besitzt.

Spezialfälle

Auf den Raum $V:=\ell _{2}(\mathbb {R} )$ mit dem Standardskalarprodukt angewandt, erhält man:

$\left(\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\cdot y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}^{2}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{\infty }y_{i}^{2}\right)$

Im Fall quadratisch integrierbarer komplexwertiger Funktionen erhält man:

$\left|\int {\overline {f(x)}}\cdot g(x)\,dx\right|^{2}\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\right)\cdot \left(\int \left|g(x)\right|^{2}\,dx\right)$

Wahrscheinlichkeitstheorie - Erwartungswert

Sei $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ ein Zufallsexperiment für $X:\Omega \to \mathbb {R}$ und $Y:\Omega \to \mathbb {R}$ zwei quadratisch integrierbare Zufallsvariablen. Dann gilt für den Erwartungswert $E$ folgende Ungleichung:

$\left(\operatorname {E} (XY)\right)^{2}\leq \operatorname {E} (X^{2})\cdot \operatorname {E} (Y^{2})$

Zusammenhang Hölder-Ungleichung

Diese Ungleichungen werden durch die Hölder-Ungleichung verallgemeinert.

Quadratische Matrizen

Auf quadratische Matrizen angewandt, erhält man für die Spur:

$\vert \operatorname {Spur} (AB^{*})\vert \leq (\operatorname {Spur} (AA^{*}))^{\frac {1}{2}}(\operatorname {Spur} (BB^{*}))^{\frac {1}{2}}$

Über den reellen Zahlen ist die oben definierte Abbildung $\langle A,B\rangle :=\operatorname {Spur} (AB^{*})$ positiv-semidefinit. Die positive Definitheit wird aber im Beweis der Hölderungleichung und der Cauchy-Schwarz-Ungöleichung nicht benötigt.

Reeller 3D-Raum

Im $\mathbb {R} ^{3}$ lässt sich die Aussage der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung in Form einer Gleichung präzisieren:

$\langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle =|\langle x,y\rangle |^{2}+\|x\times y\|^{2}$

Der Summand $\|x\times y\|^{2}$ ist stets nicht-negativ. Er ist genau dann Null, wenn $x$ und $y$ linear abhängig sind.

Geschichte

Benannt ist die Ungleichung nach Augustin Louis Cauchy, Wiktor Jakowlewitsch Bunjakowski und Hermann Amandus Schwarz. Bei Cauchy findet sich die Summenform der Ungleichung in seiner Analyse algébrique (1821).

Integralform der CS-UG

Die Integralform der Ungleichung wurde historisch erstmals 1859 von Bunjakowski in einer Arbeit über Ungleichungen zwischen Integralen veröffentlicht; Schwarz veröffentlichte seine Arbeit erst 1884 ohne Bezugnahme auf die Arbeit von Bunjakowski.

Diskreter Fall der CS-UG

Entsprechend dieser Entwicklung findet sich teilweise auch nur die Benennung als Cauchy-Ungleichung für den diskreten, endlichen Fall und als Bunjakowski-Ungleichung oder Schwarzsche Ungleichung im Integral-Fall.

Anwendungen

In einem Vektorraum mit innerem Produkt lässt sich aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung die Dreiecksungleichung für die induzierte Norm

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$

ableiten, und damit in weiterer Folge zeigen, dass eine so definierte Norm die Normaxiome erfüllt.

Eine weitere Folgerung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist, dass das innere Produkt eine stetige Funktion ist.

Winkel zwischen Vektoren

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung stellt sicher, dass im Ausdruck

$\cos \varphi ={\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\cdot \|y\|}}$

der Betrag des Bruches stets kleiner oder gleich eins ist, sodass also $\varphi \;$ wohldefiniert ist und damit der Winkel auf beliebigen Räumen mit innerem Produkt verallgemeinert werden kann. $cos(z)$ ist mit $z\in \mathbb {C}$ allerdings betragsmäßig unbeschränkte als holomorphe Funktion.

Anwendungen in der Physik

In der Physik wird die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung bei der Herleitung der Heisenbergschen Unschärferelation verwendet.

Beweis der Ungleichung

Ist einer der Vektoren der Nullvektor, so ist die Cauchy-Schwarz-Ungleichung trivialerweise erfüllt. In den folgenden Beweisen wird daher teils ohne besonderen Hinweis $x\neq 0$ und $y\neq 0$ vorausgesetzt.

Spezialfall reelles Standardskalarprodukt

Beweis aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

Ein Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung kann beispielsweise mit Hilfe der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel erfolgen:

Definiert man für $i=1,\dots ,n$ die Werte

$\xi _{i}:={\frac {|x_{i}|}{\sqrt {\sum _{j}x_{j}^{2}}}}$  und  $\eta _{i}:={\frac {|y_{i}|}{\sqrt {\sum _{j}y_{j}^{2}}}},$

so ergibt sich aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Beziehung

$\sum _{i}\xi _{i}\eta _{i}=\sum _{i}{\sqrt {\xi _{i}^{2}\eta _{i}^{2}}}\leq \sum _{i}\left({\frac {\xi _{i}^{2}}{2}}+{\frac {\eta _{i}^{2}}{2}}\right)=1$

Daraus folgt unmittelbar die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Beweis aus der Umordnungs-Ungleichung 1

Ein anderer Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ergibt sich aus der Umordnungs-Ungleichung. Setzt man

$S={\sqrt {\sum _{i}x_{i}^{2}}}$ und $T={\sqrt {\sum _{i}y_{i}^{2}}}$

sowie $\xi _{i}={\tfrac {x_{i}}{S}}$ und $\xi _{n+i}={\tfrac {y_{i}}{T}}$ so gilt

$2=\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{2}}{S^{2}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {y_{i}^{2}}{T^{2}}}=\sum _{i=1}^{2n}\xi _{i}^{2}.$

Beweis aus der Umordnungs-Ungleichung 2

Wegen der Umordnungs-Ungleichung ist nun

${\begin{array}{rcl}\sum _{i=1}^{2n}\xi _{i}^{2}&\geq &\xi _{1}\xi _{n+1}+\xi _{2}\xi _{n+2}+\dots +\xi _{n}\xi _{2n}+\\&&+\xi _{n+1}\xi _{1}+\xi _{n+2}\xi _{2}+\dots +\xi _{2n}\xi _{n}\\\end{array}}$

Zusammengefasst erhält man also

$2\geq {\frac {2\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{ST}}.$

Daraus ergibt sich die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Allgemeines Skalarprodukt

Die oben angegebenen Beweise beweisen nur den Spezialfall der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung für das Standardskalarprodukt im $\mathbb {R} ^{n}$. Der Beweis für den allgemeinen Fall des Skalarprodukts in einem Vektorraum mit innerem Produkt im Beweis angegeben.

Reeller Fall 1

Unter der Voraussetzung $y\neq 0$ gilt $\langle y,y\rangle \neq 0$. Für jedes $\lambda \in \mathbb {R}$ gilt

${\begin{array}{rcl}0&\leq &\langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle =\langle x-\lambda y,x\rangle -\lambda \langle x-\lambda y,y\rangle \\&=&\langle x,x\rangle -2\lambda \langle x,y\rangle +\lambda ^{2}\langle y,y\rangle \\\end{array}}$

Wählt man nun speziell $\lambda :={\tfrac {\langle x,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}=\langle x,y\rangle \cdot \|y\|^{-2}$ so ergibt sich

$0\leq \|x\|^{2}-\langle x,y\rangle ^{2}\cdot \|y\|^{-2},$

Reeller Fall 2

Also erhält man durch Umformung die Ungleichung:

$\langle x,y\rangle ^{2}\leq \|x\|^{2}\|y\|^{2}.$

Ziehen der Quadratwurzel ergibt nun genau die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

${\big |}\langle x,y\rangle {\big |}\leq \|x\|\|y\|.$

Semi-Skalarprodukt

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung benötigt an keiner Stelle im Beweis die Positivität, d.h.

$\langle x,x\rangle >0\Longleftrightarrow x\not =0_{V}$

Daher kann man die gesamte Beweisstruktur auf Semi-Skalarprodukte übertragen.

Verallgemeinerung für positiv semidefinite, symmetrische Bilinearformen

Man kann den Beweis des Satzes so umformulieren, dass die positive Definitheit des Skalarprodukts nicht verwendet wird. Damit gilt die Aussage auch für jede positiv semidefinite, symmetrische Bilinearform (beziehungsweise hermitesche Sesquilinearform) $b$.

Beweis für den reellen Fall 1

Man wählt denselben Ansatz, wie im Beweis, der das Skalarprodukt verwendet, trifft hier aber die Wahl

$\lambda ={\frac {b(x,y)}{b(y,y)+\varepsilon }}.$

Beweis für den reellen Fall 2

Damit muss man nicht mehr fordern, dass $b(y,y)$ nicht 0 ist. Das ergibt

$0\leq b(x-\lambda y,x-\lambda y)=b(x,x)-2\lambda b(x,y)+\lambda ^{2}b(y,y).$

Beweis für den reellen Fall 3

Ähnlich wie im obigen Beweis folgert man

$2b(x,y)^{2}-b(x,y)^{2}{\frac {b(y,y)}{b(y,y)+\varepsilon }}\leq b(x,x)(b(y,y)+\varepsilon ).$

und die Behauptung ist gezeigt, wenn $\varepsilon$ gegen 0 konvergiert. Für $b(y,y)=0$ folgt $b(x,y)=0$.

Bedingungen für die Gleichheit 1

Auch hier ist die Situation denkbar, dass aus der Ungleichung eine Gleichheit wird, zum Beispiel wenn (wie beim Skalarprodukt) $x,y$ linear abhängig sind. Allerdings sind auch Fälle denkbar, wo die Gleichheit eintritt, ohne dass eine lineare Abhängigkeit vorliegt. Man betrachte etwa eine entartete Bilinearform $b$. Dann gibt es ein $x\neq 0$, so dass für alle $y$ des Vektorraums $b(x,y)=0$ ist.

Bedingungen für die Gleichheit 2

Sei nun $y$ aus dem Vektorraum beliebig. Man erhält dann

$|b(x,y)|^{2}=0$

und

$b(x,x)\,b(y,y)=0\cdot b(y,y)=0,$

also

$|b(x,y)|^{2}=b(x,x)\,b(y,y),$

auch für den Fall, dass $x$ und $y$ linear unabhängig sind.

Siehe auch

• Bilinearform
• Hermitesche Form
• lineare Abbildung - semilineare Abbildung
• komplex Konjugierte
• Komplexe Zahlen
• Kurs:Funktionentheorie
• Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen

Weblinks

 Wikibooks: Beweis der Cauchy-Schwarz-Ungleichung – Lern- und Lehrmaterialien

• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: Cauchy-Schwarz inequality.

Literatur

• Peter Schreiber: The Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality. In: Hermann Grassmann, Werk und Wirkung. Internationale Fachtagung anläßlich des 150. Jahrestages des ersten Erscheinens der „linearen Ausdehnungslehre“. Universität Greifswald, 1995, S. 64–70.

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