Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum

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Einleitung[Bearbeiten]

Der Quotientenvektorraum, auch kurz Quotientenraum oder Faktorraum genannt, ist ein Begriff aus der linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Er ist derjenige Vektorraum, der als Bild einer Parallelprojektion entlang eines Untervektorraums entsteht. Die Elemente des Quotientenvektorraumes sind Äquivalenzklassen. In einem Quotientenvektorraum entspricht der Nullvektor dem Untervektorraum bzgl. dem der Quotientenraum gebildet wird. Alle anderen Elemente entstehen durch Verschiebung des Untervektorraumen mit einem Repräsentanten des Vektorraumes.

Definition: Aquivalenzrelation[Bearbeiten]

Es sei ein Vektorraum über einem Körper und ein Untervektorraum von . Durch die Festsetzung

für

wird auf eine Äquivalenzrelation definiert.

Geometrische Interpretation[Bearbeiten]

Die Vektoren und sind also äquivalent, wenn sie sich um einen Vektor aus unterscheiden. Betrachtet man z.B. eine Gerade als eindimensionalen Untervektorraum durch den Ursprung, so kann man die Äquivalenz zweier Vektor und geometrisch wie folgt ausgedrücken:

Wenn die Gerade durch die Punkte und parallel zur durch definierten Gerade ist, sind und äquivalent.

Äquivalenzklassen[Bearbeiten]

Die Äquivalenzklasse eines Punktes ist

,

anschaulich der zu „parallele“ affine Unterraum durch . Die Äquivalenzklassen werden auch als Nebenklassen bezeichnet (dieser Begriff stammt aus der Gruppentheorie).

Definition: Quotientenvektorraum[Bearbeiten]

Der Quotientenvektorraum von nach ist die Menge aller Äquivalenzklassen und wird mit bezeichnet:

.

Er bildet einen Vektorraum, wenn die Vektorraumoperationen vertreterweise definiert werden:

für und .

Wohldefiniertheit der Operationen[Bearbeiten]

Diese Operationen sind wohldefiniert, also von der Wahl der Vertreter unabhängig, d.h.

  • Für und gilt auch
  • Für und gilt auch

bzw.

  • Für und gilt auch
  • Für und gilt auch

Beweisidee für den Nachweis der Wohldefiniertheit[Bearbeiten]

Man zeigt jeweils zwei Mengeninklusionen für die Repräsentatenunabhängigkeit der definierten Operationen:

  • Seien und beliebig gewählt. Man zeigt bzw.
  • Für und zeigt man bzw.

Aufgabe für Studierende[Bearbeiten]

Betrachten Sie die Inklusionen und . In meisten Fällen gilt sogar die Mengengleichheit und . Bestimmen Sie die Fälle, in denen eine echte Teilmengenbeziehung vorliegt!

Mengeninklusion für den Nachweis der Wohldefiniertheit[Bearbeiten]

Exemplarisch wird für der Nachweis Mengeninklusion geführt (Beweisen Sie die anderen 3 Mengeninklusionen analog als Übung):

  • Sei , dann gilt es ein mit .
  • Ferner gibt es mit ein mit .
  • Insgesamt erhält man: .

Ideal und Multiplikation[Bearbeiten]

Ist eine Algebra und der Untervektorraum zugleich auch ein Ideal, dann kann man auch eine wohldefinierte Multiplkation auf dem Quotientenraum odefinieren. Für die Multiplikation im Quotientenraum muss man wieder die Repräsentantenunabhängigkeit nachweisen. Also mit und gilt auch:

Zeigen Sie die Repräsentantenunabhängigkeit der Multiplikation im Quotientenraum!

Eigenschaften 1[Bearbeiten]

  • Es gibt eine kanonische surjektive lineare Abbildung
.
  • Ist ein Komplement von in , d. h. ist die direkte Summe von und , so ist die Einschränkung von auf ein Isomorphismus. Es gibt aber keine kanonische Möglichkeit, als Unterraum von aufzufassen.
  • Ist endlichdimensional, dann ergibt sich daraus die folgende Beziehung für die Dimensionen:

Eigenschaften 2[Bearbeiten]

  • Der Dualraum von kann mit denjenigen Linearformen auf identifiziert werden, die auf identisch sind.
  • Der Homomorphiesatz besagt, dass eine lineare Abbildung einen Isomorphismus
zwischen dem Quotientenraum von nach dem Kern von und dem Bild von induziert, d. h. die Verkettung
ist gleich .

Anwendung in der Funktionalanalysis[Bearbeiten]

Viele normierte Räume entstehen auf die folgende Weise: Sei ein reeller oder komplexer Vektorraum und sei eine Halbnorm auf . Dann ist ein Untervektorraum von . Der Quotientenraum wird dann mit der Norm ein normierter Vektorraum.

Allgemeiner: Sei ein topologischer Vektorraum, der nicht hausdorffsch ist. Dann lässt sich analog zu oben ein Unterraum definieren: . Der Quotientenraum wird mit der Quotiententopologie ein hausdorffscher topologischer Vektorraum.

Beispiele[Bearbeiten]

Die folgenden Beispiele zeigen mathematische Anwendung für Quotientenräume:

Abstrakt[Bearbeiten]

Die -Räume sind Quotientenräume bei denen man Funktionen in einer Äquivalenzklasse zusammenfasst, die sich nur auf Nullmengen unterscheiden. Mit dieser Bemerkung für -Räume sind auch die Sobolew-Räume Quotientenvektorräume.

Konkret[Bearbeiten]

Gegeben sei der Vektorraum und der eindimensionale Untervektorraum

.

Dann ist zum Beispiel

eine Äquivalenzklasse des Quotientenraumes .

Geometrische Darstellung von Quotientenräumen[Bearbeiten]

Anschaulich ist jede Gerade, die parallel zur winkelhalbierenden Gerade des 1. Quadranten ist, eine Äquivalenzklasse:

Faktorraum

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, lSBN 3-528-97217-3.
  • Klaus Jänich: Lineare Algebra. Springer-Lehrbuch, lSBN 3-540-66888-8.

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