Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras

Einleitung

Der Satz des Pythagoras ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf topologische Vektorräume übertragen kann, wenn diese zusätzlich eine Skalarprodukt besitzen, die dann die Topologie erzeugen.

Veranschaulichung

In Hilberträumen werden in der Formel $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ später Seitenlängen von Quadraten (z.B. $a$ ) in der allgemeinen Aussage durch Längen von Vektoren (z.B. $\|x\|$ ) ersetzt. Vektoren können im Allgemeinen Fall dann auch Funktionen mit einer Länge $\|f\|$ sein.

Definition: Orthogonalität

Sei $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ ein (Prä-)Hilbertraum. Zwei Vektoren $v,w\in V$ heißen orthogonal, wenn für das Skalarprodukt $\langle v,w\rangle =0$ gilt. Bezeichnung $v\bot w$

Satz des Pythagoras

Sei $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei orthogonale Vektoren $v,w\in V$ ( $v\bot w$ ) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras.

\|v+w\|^{2}=\|v\|^{2}+\|w\|^{2}

,

Beweis

Man nutzt die Eigenschaften des Skalarproduktes über $\mathbb {C}$ , um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen.

Beweisschritt 1 - Definition der Norm

Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit:

\|v+w\|^{2}=\langle v+w,v+w\rangle

Beweisschritt 2 - hermitesch - symmetrisch

Aus der Orthogonalität von $v$ und $w$ mit $\langle v,w\rangle =0$ folgt in euklidischen Vektorräumen mit der Symmetrie des Skalarproduktes über $\mathbb {R}$ auch $\langle w,v\rangle =0$ . über $\mathbb {R}$ . In unitären Vektorräumen über $\mathbb {C}$ gilt dies ebenfalls:

\langle v,w\rangle =0={\overline {\langle v,w\rangle }}=\langle w,v\rangle

Diese Eigenschaft wird in der folgenden Gleichungskette für den Beweis verwendet.

Beweisschritt 3 - Semilinearität - Linearität

Nun kann man die Semilinearität in der ersten und die Linearität in der zweiten Komponenten anwenden. ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit:

{\begin{array}{rcl}\|v+w\|^{2}&=&\langle v+w,v+w\rangle \\&=&\langle v,v+w\rangle +\langle w,v+w\rangle \\&=&\langle v,v\rangle +\underbrace {\langle v,w\rangle } _{=0}+\underbrace {\langle w,v\rangle } _{=0}+\langle w,w\rangle \\&=&\|v\|^{2}+\|w\|^{2}\end{array}}

Beweisschritt 4

Damit gilt der Satz des Pythagoras in beliebigen Prähilberträumen und damit auch in jedem Hilbertraum. $\quad \Box$

Satz des Pythagoras für endliche Summen

Der Satz des Pythagoras gilt für eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ , sodass die folgende Gleichung gilt:

\|v_{1}+\dotsb +v_{n}\|^{2}=\|v_{1}\|^{2}+\dotsb +\|v_{n}\|^{2}

.

Bemerkung - Raumdiagonale vom Quader

In der Sekundarstufe I erhält man die obige Gleichung für die Raumdiagonale im Quader mit den den Vektoren $v_{1},v_{2},v_{3}\in \mathbb {R} ^{3}$ .

Aufgabe - Beweis Pythagoras für endliche Summen

Beweisen Sie den obigen Satz durch vollständige Induktion über $n$ . Der Induktionsanfang sei $n=2$ . Für $n=1$ gilt die Aussage trivialerweise ebenfalls mit $\|v_{1}\|^{2}=\|v_{1}\|^{2}$ .

Bemerkung -Parsevalsche Gleichung

Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden von paarweise orthogonalen Vektoren in einem Hilbertraum ist die Parsevalsche Gleichung.

Vektorraum der stetigen Funktionen

Mit $V={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {K} )$ und $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$ ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert:

+:V\times V\to V

mit

(f,g)\mapsto f+g:=h

und

h(x):=f(x)+g(x)

für alle

x\in [a,b]

.

Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes $x\in [a,b]$ definert:

\cdot :\mathbb {K} \times V\to V

mit

(\lambda ,f)\mapsto \lambda \cdot f:=h

und

h(x):=\lambda \cdot f(x)

für alle

x\in [a,b]

.

Skalarprodukt

Mit dem Skalarprodukt $\textstyle \langle f,g\rangle _{_{V}}=\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}\,g(x)\,{\rm {d}}x$ ist der Raum der stetigen Funktionen $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ zwar ein Prä-Hilbertraum. $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ ist aber nicht vollständig. Zeigen Sie, dass der Prähilbertraum $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ nicht vollständig ist.

Hinweis

Erzeugen Sie eine Cauchy-Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ aus stetigen Funktionen, wobei die Grenzfunktion eine Treppenfunktion auf $[a,b]$ mit einer Unstetigkeitsstelle ist.

Orthogonalität

Sei $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ , $a=0$ und $b=2\pi$ . Zeigen Sie, dass die Funktionen $f(x)=sin(x)$ und die Funktion $g(x)=4$ orthogonal sind, also $\langle f,\cdot g\rangle =0$ gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten $f,g$ und der Hypotenuse $f+g$ !