Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Definition: Orthogonalität[Bearbeiten]

Sei ein (Prä-)Hilbertraum. Zwei Vektoren heißen orthogonal, wenn für das Skalarprodukt gilt. Bezeichnung

Satz des Pythagoras[Bearbeiten]

Sei ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei orthogonale Vektoren () gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras.

,

Beweis[Bearbeiten]

Nutzen Sie die Axiomen des Skalarproduktes über , um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen.

Bemerkung[Bearbeiten]

Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren erweitert werden und es gilt dann

.

Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem Hilbertraum ist die Parsevalsche Gleichung

Vektorraum der stetigen Funktionen[Bearbeiten]

Mit und ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert:

mit und für alle .

Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes definert:

mit und für alle .

Skalarprodukt[Bearbeiten]

Mit dem Skalarprodukt ist ein Prä-Hilbertraum, zeigen Sie, dass der Raum nicht vollständig ist.

Orthogonalität[Bearbeiten]

Sei , und . Zeigen Sie, dass die Funktionen und die Funktion orthogonal sind, also gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten und der Hypotenuse !

Siehe auch[Bearbeiten]


Seiteninformation[Bearbeiten]

Diese Lernressource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Wiki2Reveal[Bearbeiten]

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Funktionalanalysis' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.