Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales

Einleitung

Diese Seite kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Den Satz des Thales auf Prähilberträume zu übertragen ist dabei nur eine Option der Verallgemeinerung^[1].

Zielsetzung

Diese Lernressource hat das Ziel, den Satz des Thales in (Prä-)Hilbert-Räumen zu beweisen. Dabei gibt es eine zusätzlich Einschränkung in (Prä-)Hilbert-Räumen über den komplexen Zahlen, die so aus der euklidschen Geometrie der Eben nicht bekannt sind.

Zielgruppe

Die Zielgruppe der Lernressource sind Lehramtstudierende, die die Verallgemeinerung von Sätzen aus der Sekundarstufe I auf Hilbert-Räumen kennen lernen möchten.

Satz des Thales 1 - rechter Winkel

Sei $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ ein Prä-Hilbert-Raum über $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ . Das Dreieck $\Delta (A,B,C)$ wird durch folgende Vektoren dargestellt.

${\overrightarrow {AB}}=2\cdot w$ ("Durchmesser Kreis") und ${\overrightarrow {AM}}=w$
${\overrightarrow {AC}}=v_{1}$ , ${\overrightarrow {BC}}=v_{2}$ , ${\overrightarrow {MC}}=r$ mit $\|w\|=\|r\|$ .
für Prä-Hilberträume über $\mathbb {C}$ verlangt man ferner $\langle w,r\rangle \in \mathbb {R}$ .

Dann gilt $\langle v_{1},v_{2}\rangle =0$ (d.h. das Dreieck rechtwinklig).

Beweis - Satz des Thales 1

In dem Beweis zeigen wir über die Eigenschaften des Skalarproduktes, dass die Katheten in dem Dreieck senkrecht aufeinander stehen. Sei $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ ein Prä-Hilbert-Raum über $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ . Dabei liefert die Eigenschaft $\|w\|=\|r\|$ , das die Ecken des Dreieck auf einem Kreis liegen.

Bemerkung zur Übertragung in (Prä-)Hilbert-Räume

Die bekannten geometrischen Eigenschaften aus der Ebene wurden dabei wie folgt auf (Prä-)Hilbert-Räume übertragen:

${\overrightarrow {AB}}=2\cdot w$ und ${\overrightarrow {AM}}=w$ , bedeutet, dass $M$ der Mittelpunkt der Strecke ${\overline {AB}}$ ist.
${\overrightarrow {AC}}=v_{1}$ , ${\overrightarrow {BC}}=v_{2}$ sind die Katheten des Dreiecks,
Durch ${\overrightarrow {MC}}=r$ und $\|w\|=\|r\|$ liegt der Punkt $C$ auf einem Halbkreis mit dem Radius $\|r\|$ .

Beweis 1 - Orthogonalität der Katheten

Man berechnet nun $\langle v_{1},v_{2}\rangle$ durch Einsetzung und Anwendung der Eigenschaften des Skalarproduktes:

{\begin{array}{rcl}\langle v_{1},v_{2}\rangle &=&\langle w+r,-w+r\rangle \\&=&\langle w+r,-w\rangle +\langle w+r,r\rangle \\&=&{\big (}-\underbrace {\langle w,w\rangle } _{=\|w\|^{2}}-\langle r,w\rangle {\big )}+{\big (}\langle w,r\rangle +\underbrace {\langle r,r\rangle } _{=\|r\|^{2}}{\big )}\\&=&-{\underbrace {\|w\|} _{=\|r\|}}^{2}+\langle r,w\rangle -\underbrace {\overline {\langle r,w\rangle }} _{=\langle r,w\rangle \in \mathbb {R} }+\|r\|^{2}=0\\\end{array}}

Beweis 2 - Orthogonalität der Katheten

Damit gilt $\langle v_{1},v_{2}\rangle =0$ und das Dreieck mit den obigen Katheten $v_{1},v_{2}$ und der Hypotenuse $2\cdot w$ ist rechtwinklig. $\Box$

Satz des Thales 2 - Punkt auf Kreis

Sei $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ ein Prä-Hilbert-Raum über $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ . Das Dreieck $\Delta (A,B,C)$ wird durch folgende Vektoren dargestellt.

${\overrightarrow {AB}}=2\cdot w$ ("Durchmesser Kreis") und ${\overrightarrow {AM}}=w$
${\overrightarrow {AC}}=v_{1}$ , ${\overrightarrow {BC}}=v_{2}$ , ${\overrightarrow {MC}}=r$ mit $\langle v_{1},v_{2}\rangle =0$ .
für Prä-Hilberträume über $\mathbb {C}$ verlangt man ferner $\langle w,r\rangle \in \mathbb {R}$ .

Dann gilt $\|w\|=\|r\|$ (d.h. der Punkt $C$ liegt auf dem Kreis um $M$ ).

Beweis - Satz des Thales 2

Nach Voraussetzung stehen $v_{1}$ und $v_{2}$ orthogonal zueinander, wegen $\langle v_{1},v_{2}\rangle =0$ . Diese Eigenschaft wird nun ausgenutzt, um zu zeigen, dass $\|w\|=\|r\|$ gilt und damit der Punkt $C$ auf einem Kreis um $M$ liegt.

Beweisschritt 1 - Verwendung der Orthogonalität

Man berechnet nun $\langle v_{1},v_{2}\rangle$ durch Einsetzung und Anwendung der Eigenschaften des Skalarproduktes:

{\begin{array}{rcl}0&=&\langle v_{1},v_{2}\rangle =\langle w+r,-w+r\rangle \\&=&\langle w+r,-w\rangle +\langle w+r,r\rangle \\&=&{\big (}-\underbrace {\langle w,w\rangle } _{=\|w\|^{2}}-\langle r,w\rangle {\big )}+{\big (}\langle w,r\rangle +\underbrace {\langle r,r\rangle } _{=\|r\|^{2}}{\big )}\\&=&-{\underbrace {\|w\|} _{=\|r\|}}^{2}+\langle r,w\rangle -\underbrace {\overline {\langle r,w\rangle }} _{=\langle r,w\rangle \in \mathbb {R} }+\|r\|^{2}\\\end{array}}

Beweisschritt 2 - reellwertiges Skalarprodukt

Da das Skalarprodukt $\langle r,w\rangle \in \mathbb {R}$ reellwertig ist, gilt $\langle r,w\rangle ={\overline {\langle r,w\rangle }}$ und damit gilt auch:

\langle r,w\rangle -\underbrace {\overline {\langle r,w\rangle }} _{=\langle r,w\rangle \in \mathbb {R} }=\langle r,w\rangle -\langle r,w\rangle =0

Dieses Resultat wendet man nun in Beweisschritt 1 an.

Beweisschritt 3 - Algebraische Umformung

Man erhält durch Einsetzen in Gleichung 1 die folgende Äquivalenz:

0=-\|w\|^{2}+\|r\|^{2}\ \Longleftrightarrow \|w\|=\|r\|

Damit liegt $C$ auf dem Kreis mit Radius $\|r\|=\|w\|$ um den Punkt $M$ . $\quad \Box$

Bemerkung - Zusatzbedingung für unitäre Vektorräume

In euklidischen Vektorräume gilt die Bedingung $\langle w,r\rangle \in \mathbb {R}$ in natürlicher Weise. In unitären Vektorräumen (über $\mathbb {C}$ ) verlangt man die Bedingung $\langle w,r\rangle \in \mathbb {R}$ als Vorraussetzung des Satzes des Thales. Gilt $\langle w,r\rangle \notin \mathbb {R}$ , so kann man $r$ durch ${\widehat {\,r\,}}:={\tfrac {\langle r,w\rangle }{|\langle r,w\rangle |}}\cdot r$ ersetzen, damit $\langle w,{\widehat {\,r\,}}\rangle \in \mathbb {R}$ erfüllt ist.

{\begin{array}{rcl}\langle w,{\widehat {r\,}}\rangle &=&\displaystyle \left\langle w,{\frac {\langle r,w\rangle }{|\langle r,w\rangle |}}\cdot r\right\rangle \\&=&\displaystyle {\frac {\langle r,w\rangle }{|\langle r,w\rangle |}}\cdot \left\langle w,r\right\rangle \\&=&\displaystyle {\frac {\overbrace {\overline {\langle w,r\rangle }} ^{=\langle r,w\rangle }}{|\langle r,w\rangle |}}\cdot \left\langle w,r\right\rangle ={\frac {|\langle w,r\rangle |^{2}}{|\langle w,r\rangle |}}=|\langle w,r\rangle |\in \mathbb {R} \\\end{array}}

Aufgaben für Studierende

Formulieren und beweisen Sie die Umkehrung auf (Prä-)Hilbert-Räumen, bei der nach Vorausetzung in einem rechtwinkligen Dreieck der Punkt $C$ in dem Dreieck $\Delta (A,B,C)$ , an dem ein rechter Winkel vorliegt, auf einem Halbkreis über der Hypotenuse ${\overline {AB}}$ liegt.
In unitären Vektorräumen wird eine Zusatzbedingung $\langle w,r\rangle \in \mathbb {R}$ gefordert, die man durch die obige Bemerkung für ein $r$ mit $\langle w,r\rangle \notin \mathbb {R}$ durch Ersetzung durch ein ${\widehat {\,r\,}}$ erfüllt. Wie kann man die Transformation von $r$ zu ${\widehat {\,r\,}}$ geometrisch interpretieren? Gibt es weitere Ersetzungsmöglichkeiten für ${\widehat {\,r\,}}$ , um die Eigenschaft $\langle w,{\widehat {\,r\,}}\rangle \in \mathbb {R}$ zu erfüllen?

Literatur/Quellennachweise

↑ G. Weiß, F.Gruber (2008), Den Satz von THALES verallgemeinern - aber wie?, Scientific and Professional Journal of the Croatian Society for Geometry and Graphics, KoG•12–2008, S. 8-18

Siehe auch

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[1] G. Weiß, F.Gruber (2008), Den Satz von THALES verallgemeinern - aber wie?, Scientific and Professional Journal of the Croatian Society for Geometry and Graphics, KoG•12–2008, S. 8-18

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