Es sei ein Gebiet, holomorph. Ist konstant auf , so ist konstant.
Es sei offen, holomorph. Sei ferner
konstant.
Beweis des Lemmas 1[Bearbeiten]
Wenn auf konstant ist, dann muss auch konstant sein mit einer Konstante .
Beweis des Lemmas 2[Bearbeiten]
Wegen holomorph auf ist gelten die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen für
und es gilt
Beweis des Lemmas 3[Bearbeiten]
Ist und und Anwendung der Kettenregel auf die partiellen Ableitungen erhält man die beiden Gleichungen
- und
Mit CR-DGL und ersetzen wird die partiellen Ableitung von durch partielle Ableitungen von und erhalten (Faktor 2 kann entfallen):
- und
Beweis des Lemmas 4[Bearbeiten]
Wir quadrieren die beiden Gleichungen
und addieren diese beiden quadrierten Gleichungen danach zu:
Beweis des Lemmas 5[Bearbeiten]
Durch Ausklammern von und erhält man:
Damit folgt mit den reellwertigen Realteil- bzw. Imaginärteilfunktionen im Produkt:
Beweis des Lemmas 6[Bearbeiten]
- Mit folgt da und reellwertig sind und damit gilt .
- folgt und und damit ist nach den Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen auch
Insgesamt ist also konstant auf .
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