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Kurs:Funktionentheorie/Anwendungen CR-DG

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Aussage

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Es sei ein Gebiet, holomorph. Ist konstant auf , so ist konstant.

Beweis

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Es sei offen, holomorph. Sei ferner konstant.

Beweis des Lemmas 1

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Wenn auf konstant ist, dann muss auch konstant sein mit einer Konstante . Wenn konstant ist, gilt für die partiellen Ableitung und .

Beweis des Lemmas 2

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Wegen holomorph auf ist gelten die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen für

und es gilt

Beweis des Lemmas 3

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Ist und und Anwendung der Kettenregel auf die partiellen Ableitungen erhält man die beiden Gleichungen

und

Mit CR-DGL und ersetzen wird die partiellen Ableitung von durch partielle Ableitungen von und erhalten (Faktor 2 kann entfallen):

und

Beweis des Lemmas 4

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Wir quadrieren die beiden Gleichungen

und addieren diese beiden quadrierten Gleichungen danach zu:

Beweis des Lemmas 5

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Durch Ausklammern von und erhält man:

Damit folgt mit den reellwertigen Realteil- bzw. Imaginärteilfunktionen im Produkt:

Beweis des Lemmas 6

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  • Mit folgt da und reellwertig sind und damit gilt .
  • folgt und und damit ist nach den Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen auch

Insgesamt ist also konstant auf .

Seiteninformation

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