Es sei ein Gebiet, holomorph. Ist konstant auf , so ist konstant.
Es sei offen, holomorph. Sei ferner
konstant.
Wenn auf konstant ist, dann muss auch konstant sein mit einer Konstante . Wenn konstant ist, gilt für die partiellen Ableitung und .
Wegen holomorph auf ist gelten die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen für
und es gilt
Ist und und Anwendung der Kettenregel auf die partiellen Ableitungen erhält man die beiden Gleichungen
- und
Mit CR-DGL und ersetzen wird die partiellen Ableitung von durch partielle Ableitungen von und erhalten (Faktor 2 kann entfallen):
- und
Wir quadrieren die beiden Gleichungen
und addieren diese beiden quadrierten Gleichungen danach zu:
Durch Ausklammern von und erhält man:
Damit folgt mit den reellwertigen Realteil- bzw. Imaginärteilfunktionen im Produkt:
- Mit folgt da und reellwertig sind und damit gilt .
- folgt und und damit ist nach den Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen auch
Insgesamt ist also konstant auf .
Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Funktionentheorie' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.