Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)

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Das Lemma von Goursat, manchmal auch als Satz von Goursat bezeichnet, ist ein Satz aus der Funktionentheorie.

Das Lemma von Goursat ist eine Vorstufe des Cauchyschen Integralsatzes und wird auch oft für dessen Beweis genutzt. Es spielt im Aufbau der Funktionentheorie eine wichtige Rolle. Bemerkenswert ist, dass das Lemma lediglich die komplexe Differenzierbarkeit voraussetzt, nicht aber die stetige Differenzierbarkeit. Das Lemma wurde von Édouard Goursat (1858-1936) in der Rechteckform bewiesen und 1884 veröffentlicht. Die heute übliche Dreiecksform stammt von Alfred Pringsheim.

Satz von Goursat[Bearbeiten]

Gegeben sind die folgenden Voraussetzungen:

  • (P1) Sei eine offene Teilmenge,
  • (P2) Seien drei nicht kollineare Punkte, die das Dreieck
definieren,
  • (P3) Sei eine holomorphe Funktion,
  • (P4) Sei der geschlossene Weg über den Dreiecksrand von mit Startpunkt .

dann folgt die folgenden Behauptungen gelten:

  • (C1)

Beweis[Bearbeiten]

Integrationsweg auf dem Dreiecksrand
Aufteilung der äußeren Wegen und Einfügen von zusätzlichen Wegen zwischen den Seitenmitten, die sich durch die umgekehrte Richtung des Integrationsweges im Wegintegral als Summe 0 ergeben und somit das Gesamtintegral nicht verändern.
Induktive Definition der Wege. Die Teildreieck sind ähnlich zum Ausgangsdreieck. Durch die Verwendung der Seitenmitten halbiert sich jeweils der Umfang von einem Dreieck zu
  • (S1) Wir definieren wird eine Folge von Dreieickswegen rekursiv

Beweisteil 1: Definition der Dreieckswege[Bearbeiten]

  • (S2) (DEF) Für sei der geschlossene Dreiecksweg mit:

Ferner sei und bereits definiert. Wir definieren nun induktiv.

Begründung: (P4,UT)
  • (S3) (DEF) Definition: Dreiecksweg ,
Begründung: (S3,S4,S5)
  • (S4) (DEF) Definition: Dreiecksweg ,
  • (S5) (DEF) Definition: Dreiecksweg ,
  • (S6) (DEF) Definition: Dreiecksweg
  • (S7) (DEF) Sei der kleinste Index mit und

Beweisteil 2: Abschätzungen[Bearbeiten]

  • (S8)
  • (S9) für alle
Begründung: (S7,WG4,DU)
  • (S10)

Beweisteil 3: Durchmesser der Teildreiecke[Bearbeiten]

  • (S11) Die geschachtelte Definition der Teildreiecke liefert für alle : und
  • (S12) und

Beweisteil 4: Holomorphie verwenden (P3)[Bearbeiten]

  • (S13) Wir vewenden nun die Holomorphie von in für weitere Schritte mit
und
Begründung: (P3)
  • (S14) Die Funktion mit besitzt eine Stammfunktion
Begründung: da ein Polynom vom Grad 1 ist.
  • (S15) Das Wegintegral über geschlossene Wege der Funktion ist damit
Begründung: (SF)
  • (S16) Für das Wegintegral über geschlossene Wege der Funktion gilt

Beweisteil 4: Abschätzung des Restglieds [Bearbeiten]

  • (S17) Mit gilt: Für alle gibt es ein
Begründung: --Kriterium angewendet auf und Stetigkeit von in
  • (S18) Für alle gibt es ein :
Begründung: (S2)
  • (S20) Aus der Bedingung existiert für alle ein mit für alle .
  • (S21) für alle und alle
Begründung: Der Faktor entsteht durch die fortgesetzte Halbierung der Seiten der Dreiecke
  • (S22) Daraus folgt:
für alle
Begründung: (S19,LIW,IAL)
  • (C1)

Abkürzungen für Begründungen[Bearbeiten]

  • (DU)
  • (DI) Definition: Sei eine Menge
  • (WE) Definition (Weg): Sei eine Teilmenge und mit . Ein Weg in ist eine stetige Abbildung .
  • (SPU) Definition (Spur): Sei eine Weg in . Die Spur von ist definiert als: .
  • (WZ) Definition (wegzusammenhängend): Sei eine Teilmenge. heißt wegzusammenhängend, wenn es zu beliebigen Punkt einen Weg in gibt, mit , und .
  • (GE) Definition (Gebiet): Eine Teilmenge heißt Gebiet, wenn (1) offen, (2) und (3) wegzusammenhängend ist.
  • (WG1) Definition (Weg glatt): Ein Weg heißt glatt, wenn dieser stetig differenzierbar ist.
  • (UT) Definition (Unterteilung): Sei ein Intervall, und . heißt dann Unterteilung von .
  • (WG2) Definition (Wegunterteilung): Sei ein Weg in , , eine Unterteilung von , für alle ein Weg in . heißt Wegunterteilung von , wenn gilt und .
  • (WG3) Definition (Integrationsweg/Weg stückweise glatt): Ein Weg heißt stückweise glatt, wenn eine Wegunterteilung aus glatten Wegen für alle existiert.
  • (WG4) Definition (Wegintegral): Sei eine stetige Funktion und ein glatter Weg, dann ist das Wegintegral wie folgt definiert: . Ist nur stückweise glatt bzgl. einer Wegunterteilung , dann definiert man .
  • (SF) Satz (Stammfunktion mit geschlossenen Wegen): Besitzt eine stetige Funktion eine Stammfunktion , dann gilt für den stückweise glatten Weg , dass gilt.
  • (LIW) Länge des Integrationsweges: Sei ein glatter Weg, dann ist die wie folgt definiert
.
Ist allgemein ein Integrationsweg mit der Wegunterteilung aus glatten Wegen , so ist als Summe der Länge der glatten Wege definiert, also:
  • (IAL) Integralabschätzung über die Länge des Integrationsweges: ein Integrationsweg auf dem Gebiet , dann gilt für eine auf stetigen Funktion folgende Abschätzung:

Literatur[Bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten]

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