Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat

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Das Lemma von Goursat ist eine wichtige Teilaussage im Beweis für den Integralsatz von Cauchy. Es beschränkt die Integrationswege auf Dreiecke, ist dadurch durch ein geometrisches Unterteilungsargument zu beweisen.

Aussage[Bearbeiten]

Es sei ein abgeschlossenes Dreieck, offen und holomorph. Dann gilt

Beweis[Bearbeiten]

Setze , wir werden induktiv eine Folge mit den Eigenschaften

  1. ( bezeichnet die Länge einer Kurve)

Sei also und bereits konstruiert. Wir unterteilen , in dem wir die Seitenmittelpunkte verbinden, in vier Teildreiecke , . Da die Verbindungen der Seitenmitten sich bei der Integration gegenseitig aufheben, haben wir

Wähle nun mit und setze . Dann ist nach Konstruktion, weiterhin haben wir

und

also hat genau die geforderten Eigenschaften.

Da alle kompakt sind, ist , sei . Da in holomorph ist, gibt es in einer Umgebung von eine stetige Funktion mit und

Da eine Stammfunktion hat, folgt für die mit , dass

Damit erhalten wir wegen der Stetigkeit von und , dass

Notation im Beweis[Bearbeiten]

  • ist das -te ähnliche Teildreieck zum Ausgangsdreieck mit den um den Faktor verkürzten Seitenlänge.
  • ist der Integrationsweg über den Rand -te ähnlichen Teildreiecks mit einem Umfang .


Siehe auch[Bearbeiten]