Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat

Das Lemma von Goursat ist eine wichtige Teilaussage im Beweis für den Integralsatz von Cauchy. Es beschränkt die Integrationswege auf Dreiecke, ist dadurch durch ein geometrisches Unterteilungsargument zu beweisen.

Aussage

Es sei $D\subseteq \mathbb {C}$ ein abgeschlossenes Dreieck, $G\supseteq D$ offen und $f\colon U\to \mathbb {C}$ holomorph. Dann gilt $\int _{\partial D}f(z)\,dz=0.$

Beweis

Setze $\Delta _{0}:=D$, wir werden induktiv eine Folge $(\Delta _{n})_{n\geq 0}$ mit den Eigenschaften

1. $\Delta _{n}\subseteq \Delta _{n-1}$
2. ${\mathcal {L}}(\partial \Delta _{n})=2^{-n}{\mathcal {L}}(\partial D)$ ($L$ bezeichnet die Länge einer Kurve)
3. $\left|\int _{\partial D}f(z)\,dz\right|\leq 4^{n}\left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)\,dz\right|$

Sei also $n\geq 0$ und $\Delta _{n}$ bereits konstruiert. Wir unterteilen $\Delta _{n}$, in dem wir die Seitenmittelpunkte verbinden, in vier Teildreiecke $\Delta _{n+1}^{i}$, $1\leq i\leq 4$. Da die Verbindungen der Seitenmitten sich bei der Integration gegenseitig aufheben, haben wir

${\begin{array}{rl}\displaystyle \left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)\,dz\right|&=\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{4}\int _{\partial \Delta _{n+1}^{i}}f(z)\,dz\right|\\&\leq \displaystyle \sum _{i=1}^{4}\left|\int _{\partial \Delta _{n+1}^{i}}f(z)\,dz\right|\\&\leq \displaystyle \max _{i}\left|\int _{\partial \Delta _{n+1}^{i}}f(z)\,dz\right|\end{array}}$

Wähle nun $1\leq i\leq 4$ mit $\left|\int _{\partial \Delta _{n+1}^{i}}f(z)\,dz\right|=\max _{i}\left|\int _{\partial \Delta _{n+1}^{i}}f(z)\,dz\right|$ und setze $\Delta _{n+1}:=\Delta _{n+1}^{i}$. Dann ist $\Delta _{n+1}\subseteq \Delta _{n}$ nach Konstruktion, weiterhin haben wir

${\mathcal {L}}(\partial \Delta _{n+1})={\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}(\partial \Delta _{n})=2^{-(n+1)}{\mathcal {L}}(\partial D)$

und

$\left|\int _{\partial D}f(z)\,dz\right|\leq 4^{n}\left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)\,dz\right|\leq 4^{n+1}\left|\int _{\partial \Delta _{n+1}}f(z)\,dz\right|$

also hat $\Delta _{n+1}$ genau die geforderten Eigenschaften.

Da alle $\Delta _{n}$ kompakt sind, ist $\bigcap _{n\geq 0}\Delta _{n}\neq \emptyset$, sei $z_{0}\in \bigcap _{n\geq 0}\Delta _{n}$. Da $f$ in $z_{0}$ holomorph ist, gibt es in einer Umgebung $V$ von $z_{0}$ eine stetige Funktion $A\colon V\to \mathbb {C}$ mit $A(z_{0})=0$ und

$f(z)=f(z_{0})+(z-z_{0})f'(z_{0})+A(z)(z-z_{0}),\qquad z\in V$

Da $z\mapsto f(z_{0})+(z-z_{0})f'(z_{0})$ eine Stammfunktion hat, folgt für die $n\geq 0$ mit $\Delta _{n}\subseteq V$, dass

$\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)\,dz=\int _{\partial \Delta _{n}}f(z_{0})+(z-z_{0})f'(z_{0})+A(z)(z-z_{0})\,dz=\int _{\partial \Delta _{n}}A(z)(z-z_{0})\,dz.$

Damit erhalten wir wegen der Stetigkeit von $A$ und $A(z_{0})=0$, dass

${\begin{array}{rl}\displaystyle \left|\int _{\partial D}f(z)\,dz\right|&\leq \displaystyle 4^{n}\left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)\,dz\right|\\&=\displaystyle 4^{n}\left|\int _{\partial \Delta _{n}}A(z)(z-z_{0})\,dz\right|\\&\leq \displaystyle 4^{n}\cdot {\mathcal {L}}(\partial \Delta _{n})\max _{z\in \partial \Delta _{n}}|z-z_{0}||A(z)|\\&\leq \displaystyle 4^{n}\cdot {\mathcal {L}}(\partial \Delta _{n})^{2}\max _{z\in \partial \Delta _{n}}|A(z)|\\&=\displaystyle {\mathcal {L}}(\partial D)\max _{z\in \partial \Delta _{n}}|A(z)|\\&\to \displaystyle {\mathcal {L}}(\partial D)|A(z_{0})|=0,\qquad n\to \infty .\end{array}}$

Notation im Beweis

• $\Delta _{n}$ ist das $n$-te ähnliche Teildreieck zum Ausgangsdreieck mit den um den Faktor ${\frac {1}{2^{n}}}$ verkürzten Seitenlänge.
• $\partial \Delta _{n}$ ist der Integrationsweg über den Rand $n$-te ähnlichen Teildreiecks mit einem Umfang ${\mathcal {L}}(\partial \Delta _{n})={\frac {1}{2^{n}}}\cdot {\mathcal {L}}(\partial \Delta _{0})$.

Siehe auch

• Lemma von Goursat mit Details
• rektifizierbare Kurve bzw. Länge einer Kurve