Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg

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Glatte Wege und Wegunterteilung[Bearbeiten]

Die folgenden Definitionen wurden mit Kürzeln belegt und werden in Beweisen als Begründungen für Umformungen oder Folgerungen verwendet.

  • (WG1) Definition (Weg glatt): Ein Weg heißt glatt, wenn dieser stetig differenzierbar ist.
  • (UT) Definition (Unterteilung): Sei ein Intervall, und . heißt dann Unterteilung von .
  • (WG2) Definition (Wegunterteilung): Sei ein Weg in , , eine Unterteilung von , für alle ein Weg in . heißt Wegunterteilung von , wenn gilt und .
  • (WG3) Definition (Weg stückweise glatt): Ein Weg heißt stückweise glatt, wenn eine Wegunterteilung aus glatten Wegen für alle existiert.

Integrationsweg[Bearbeiten]

  • (WG4) Definition (Wegintegral): Sei eine stetige Funktion und ein glatter Weg, dann ist das Wegintegral wie folgt definiert: . Ist nur stückweise glatt bzgl. einer Wegunterteilung , dann definiert man .
  • Definition (Integrationsweg): Ein Integrationsweg ist ein stückweise glatter (stückweise stetig differenzierbarer) Weg.

Beispiel[Bearbeiten]

Integrationsweg auf dem Dreiecksrand

Der folgende Weg ist stückweise stetig differenzierbar (glatt) und für die Ecken ist der geschlossene Dreiecksweg nicht differenzierbar. Der Dreiecksweg ist auf dem Intervall wie folgt definiert:

Der stückweise stetig differenzierbare Weg ist aus Konvexkombinationen entstanden. Die Teilwege

  • mit
  • mit
  • mit

sind stetig differenzierbar.

Siehe auch[Bearbeiten]