Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz

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Einführung[Bearbeiten]

Der Residuensatz bezieht sich in der komplexen Analysis auf nullhomologe Gebiete mit isolierten Singularität. Um mit dem Residuensatz auch Integrale berechnen zu können, ergänzt man ein reelles Integral zu einem nullhomologen Zyklus in der komplexen Zahlenebene und wendet darauf den Residuensatz an.

Allgemeines Vorgegehen[Bearbeiten]

  • zunächst einmal wir das reelle Integral als Wegintegral auf der reellen Achse aufgefasst.
  • dann wird das reelle Integral zu einem geschlossenen Weg in der komplexen Zahlenebene ergänzt.
  • auf diesen geschlossene Weg als Zyklus wird nun der Residuensatz angewendet.
  • dafür müssen die Residuen der isolierte Singularitäten bestimmt werden.
  • eigentlich benötigt man den Integralwert über einen Teilweg dses Zyklus. Daher muss man insgesamt den Beitrag des komplexen Wegintegrals, den man zur Ergänzung des reellen Weginterals zu einem Zyklus verwendet, von dem Ergebnis des Residueensatz abziehen.

Reelles Integral als Wegintegral[Bearbeiten]

Ein reelles Integral wird wie folgt als Wegintegral auf der reellen Achse aufgefasst. Wir stellen das Wegintegral auf der reellen Achse als Konvexkombination der Punkte und mit ,

und

Uneigentliche Integrale als Wegintegral[Bearbeiten]

Bei uneigentlichen Integralen verwendet man einen Grenzwertprozess für die Integralgrenzen, z.B.:

oder

Ergänzung zu einem Zyklus[Bearbeiten]

Sei der reellwertige Integrationsweg, für den das reelle Integral berechnet werden soll und ein Gebiet mit . Wir ergänzen zu einem nullhomologen Zyklus in :

Beispiel 1 - Ergänzung zu einem Zyklus[Bearbeiten]

Sei und der Integrationsweg von nach auf der reellen Achse als Konvexkombination. Die folgende Ergänzung erzeugt eine Rechteckweg in der komplexen Zahlenebene:

Beispiel 2 - Ergänzung zu einem Zyklus[Bearbeiten]

Sei und auf der reellen Achse als Konvexkombination. Die folgende Ergänzung ergänzt einen Integrations mit der Spur eines Halbkreises mit Radius in der komplexen Zahlenebene:

mit

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