Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz

Einführung

Der Residuensatz bezieht sich in der komplexen Analysis auf nullhomologe Zyklen in Gebieten mit isolierten Singularität. Um mit dem Residuensatz auch Integrale berechnen zu können, ergänzt man ein reelles Integral zu einem nullhomologen Zyklus in der komplexen Zahlenebene und wendet darauf den Residuensatz an.

Allgemeines Vorgegehen

• zunächst einmal wird das reelle Integral als Wegintegral auf der reellen Achse aufgefasst.
• dann wird das reelle Integral zu einem geschlossenen Weg in der komplexen Zahlenebene ergänzt.
• auf diesen geschlossene Weg als Zyklus wird nun der Residuensatz angewendet.
• dafür müssen die Residuen der isolierte Singularitäten bestimmt werden.

Gesuchtes Integral über Teilweg des Zyklus

Eigentlich benötigt man den Integralwert über einen Teilweg des Zyklus. Daher muss man insgesamt den Beitrag des komplexen Wegintegrals, den man zur Ergänzung des reellen Weginterals zu einem Zyklus verwendet, von dem Ergebnis des Residueensatz abziehen. Bei uneigentlichen Integralen gibt es Fälle, bei denen im Grenzwertprozes auf der reellen Achse gegen $+\infty$ und $-\infty$ das Integral über den hinzugefügten Intergrationsweg verschwindet (gegen 0 geht) und damit das gesuchte reelle Integral mit dem Integral über den Zyklus übereinstimmt.

Reelles Integral als Wegintegral

Ein reelles Integral wird wie folgt als Wegintegral auf der reellen Achse aufgefasst. Wir stellen das Wegintegral auf der reellen Achse als Konvexkombination der Punkte $a=a+0i\in \mathbb {C}$ und $b=b+0i\in \mathbb {C}$ mit $a,b\in \mathbb {R}$, $a<b$

${\begin{array}{rcl}\gamma _{(a,b)}:[a,b]&\to &\mathbb {C} \\t&\mapsto &\gamma _{(a,b)}(t)=(1-t)\cdot a+t\cdot b\\\end{array}}$

und

$\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx{\mbox{ mit }}a,b\in \mathbb {R}$

Uneigentliche Integrale als Wegintegral

Bei uneigentlichen Integralen verwendet man einen Grenzwertprozess für die Integralgrenzen, z.B.:

$\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\displaystyle \lim _{R\to +\infty }\int _{+R}^{-R}f(x)dx$

oder

$\displaystyle \int _{0}^{b}f(x)dx=\displaystyle \lim _{a\to 0,a>0}\int _{a}^{b}f(x)dx$

Ergänzung zu einem Zyklus

Sei $\gamma _{0}:[a,b]\to \mathbb {R}$ der reellwertige Integrationsweg, für den das reelle Integral berechnet werden soll und $G$ ein Gebiet mit $\mathrm {Spur} (\gamma _{0})\subset G$. Wir ergänzen $\gamma _{0}$ zu einem nullhomologen Zyklus $\Gamma$ in $G$:

$\Gamma :=\gamma _{0}+\sum _{k=1}^{n}n_{k}\cdot \gamma _{k}{\mbox{ mit }}n\in \mathbb {N} {\mbox{ und }}n_{k}\in \mathbb {Z} {\mbox{ für alle }}k\in \{1,...,n\}$

Die $n_{k}$ sind i.d.R. 1 oder -1, wenn man für die Zyklusergänzung zu $\Gamma$ die umgekehrte Orientierung des Integrationsweges benötigt.

Beispiel 1 - Ergänzung zu einem Zyklus

Sei $R\in \mathbb {R} ^{+}$ und$\gamma _{0}:=\gamma _{(a,b)}$ der Integrationsweg von $a\in \mathbb {R}$ nach $b\in \mathbb {R}$ auf der reellen Achse als Konvexkombination. Die folgende Ergänzung erzeugt eine Rechteckweg in der komplexen Zahlenebene:

$\Gamma :=\gamma _{(a,b)}+\gamma _{(b,b+iR)}+\gamma _{(b+iR,a+iR)}+\gamma _{(a+iR,a)}$

Beispiel 2 - Ergänzung zu einem Zyklus

Sei $R\in \mathbb {R} ^{+}$ und$\gamma _{0}:=\gamma _{(+R,-R)}$ auf der reellen Achse als Konvexkombination. Die folgende Ergänzung ergänzt einen Integrations mit der Spur eines Halbkreises mit Radius $R$ in der komplexen Zahlenebene:

$\Gamma :=\gamma _{(-R,+R)}+\gamma _{R}$

mit

${\begin{array}{rcl}\gamma _{R}:[0,\pi ]&\to &\mathbb {C} \\t&\mapsto &\gamma _{R}(t)=R\cdot e^{it}\\\end{array}}$

Rationale Funktionen

Im Folgenden betrachtet man rationale Funktionen $R(x,y)$ in zwei Veränderlichen in $\mathbb {C}$. Dabei ist $R$ wie folgt definiert:

${\begin{array}{rrcl}R:&\mathbb {C} \times \mathbb {C} &\rightarrow &\mathbb {C} \\&\left(x,y\right)&\mapsto &R\left(x,y\right)={\frac {p(x)+q(y)}{{\widehat {p}}(x)+{\widehat {q}}(y)}}\end{array}}$

Dabei sind $p,q,{\widehat {p}},{\widehat {q}}\in \mathbb {C} [z]$ Polynome in $\mathbb {C}$. Für die Berechnung von reellen Integralen mit dem Residuensatz schränkt man diesen Fall auf $p,q,{\widehat {p}},{\widehat {q}}\in \mathbb {R} [z]$ Polynome in $\mathbb {R}$ ein.

Anzahl der Nullstellen

Das Nennerpolynom ${\widehat {p}}(x)+{\widehat {q}}(y)$ sollte in $\mathbb {C}$ endlich viele Nullstellen besitzen. Wenn der Nenner nur aus ${\widehat {p}}$ oder nur aus ${\widehat {q}}$ besteht, ist das nach dem Fundamentalsatz der Algebra automatisch der Fall.

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