Konvexkombination

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Gegebenen sei ein reeller Vektorraum . Eine Linearkombination heißt Konvexkombination, wenn alle Koeffizienten aus dem Einheitsintervall [0,1] stammen und die Summe aller für die Vektoren mit 1 ergibt:

.

Konvexkombinationen von Konvexkombinationen sind wieder Konvexkombinationen. Die Menge aller Konvexkombinationen einer vorgegebenen Menge von Vektoren heißt deren konvexe Hülle.

Video über Konvexkombinationen der Ordnung 1, 2 und 3 in Geogebra[Bearbeiten]

In dem Video sieht man Konvexkombinationen der

  • 1. Ordnung zwischen und ohne Hilfspunkte,
  • 2. Ordnung zwischen und mit dem Hilfspunkt ,
  • 3. Ordnung zwischen und mit den Hilfspunkten ,

Interaktives Geogebra-Arbeitsblatt[Bearbeiten]

Das Video zeigt eine Interaktion mit dem obigen Konvexkombinationen. Aus Geogebra heraus wurde das erstellte Arbeitsblatt auf die Geogebra-Materialienseite hochgeladen. Dies können Sie direkt im Browser unter folgendem Link nutzen:

Interaktives Arbeitsblatt: Konvexkombination auf Geogebra

Konvexkombination als Abbildung[Bearbeiten]

Eine Konvexkombination kann für die Interpolation von Punkten und verwendet werden. Seinen ferner die Hilfspunkte ,.... für eine Konvexkombination -ter Ordnung gegeben. Die Konvexkombinationen kann man allgemein als Abbildung von dem Intervall nach wie folgt auffassen:

Konvexkombinatioen in Geogebra - Download[Bearbeiten]

In Geogebra kann man die geometrische Bedeutung der Konvexkombinationen dynamisch visualisieren. Unter dem

In den Beispieldateien werden Konvexkombinationen von zwei Punkten (Vektoren ) behandelt.

Definition der Konvexkombinationen als Abbildungen/Kurven im [Bearbeiten]

Konvexkombination 1. Ordnung[Bearbeiten]

  • Konvexkombination 1. Ordnung erzeugen alle Punkte auf der Verbindungsstrecke zwischen den zwei Punkten .

Konvexkombination 2. Ordnung[Bearbeiten]

  • Eine Konvexkombination 2. Ordnung entsteht mit einem weiteren Hilfpunkte in der Ebene aus den folgenden beiden Konvexkombinationen 1.Ordnung:
(Konvexkombination 1. Ordnung zwischen )
(Konvexkombination 1. Ordnung zwischen )
(Konvexkombination 2. Ordnung zwischen mit dem Hilfpunkt )

Konvexkombination 3. Ordnung[Bearbeiten]

Eine Konvexkombination 3. Ordnung entsteht mit zwei weiteren Hilfpunkte in der Ebene aus den folgenden drei Konvexkombinationen 1.Ordnung:

(Konvexkombination 1. Ordnung zwischen )
(Konvexkombination 1. Ordnung zwischen )

Aus den drei Konvexkombinatioen 1. Ordnung konstruiert man zwei Konvexkombination 2. Ordnung wie folgt:

(Konvexkombination 2. Ordnung zwischen mit dem Hilfpunkt )
(Konvexkombination 2. Ordnung zwischen mit dem Hilfpunkt )

Aus den beiden Konvexkombinationen 2. Ordnung ensteht nun eine Konvexkombination 3. Ordnung wie folgt:

(Konvexkombination 2. Ordnung zwischen mit den Hilfpunkten )

Konvexkombinationen n-ter Ordnung[Bearbeiten]

Allgemein hat eine Konvexkombination -ter Ordnung

  • Hilfspunkte
  • Konvexkombinationen 1. Ordnung,
  • Konvexkombinationen 2. Ordnung,
  • ...
  • Konvexkombinationen -ter Ordnung,
  • ...
  • Konvexkombination n-ter Ordnung,

n der Praxis sind insbesondere die Konvexkombinationen 3. Ordnung von Bedeutung

Aufgabe[Bearbeiten]

  • Analysieren Sie die Geogebra-Beispieldateien und beschreiben Sie die Bedeutung der Hilfspunkte für die Form der Ortslinie in der Dynamischen Geometrie-Software (DGS) Geogebra.
  • Welche Rolle spielen die Hilfspunkte, um differenzierbare Interpolationen zu erzeugen (Tangentialvektoren).
  • Vergleichen Sie die Interpolationen nach Lagrange bzw. Newton für vielen Datenpunkte mit der Intepolation durch Konvexkombinationen 3. Ordnung. Welche Schwächen (Oszillation zwischen den Datenpunkten) können Sie mit Geogebra veranschaulichen.
  • Berechnen Sie die Punkte von Konvexkombinationen 3. Ordnung im mit Maxima CAS (siehe auch Maxima Tutorial der FH-Hagen.
K(t):= A * (1-t)^3 + H1 * (1-t)^2 * t + H2 * (1-t) * t^2 + B * t^3

Definieren Sie die Punkte als 3x1-Matrizen mit:

A : matrix( [-1], [3], [-4] )

Siehe auch[Bearbeiten]