Konvexkombination

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Gegebenen sei ein reeller Vektorraum . Eine Linearkombination heißt Konvexkombination, wenn alle Koeffizienten aus dem Einheitsintervall [0,1] stammen und die Summe aller für die Vektoren mit 1 ergibt:

.

Konvexkombinationen von Konvexkombinationen sind wieder Konvexkombinationen. Die Menge aller Konvexkombinationen einer vorgegebenen Menge von Vektoren heißt deren konvexe Hülle.

Video über Konvexkombinationen der Ordnung 1, 2 und 3 in Geogebra[Bearbeiten]

In dem Video sieht man Konvexkombinationen der

  • 1. Ordnung zwischen und ohne Hilfspunkte,
  • 2. Ordnung zwischen und mit dem Hilfspunkt ,
  • 3. Ordnung zwischen und mit den Hilfspunkten ,

Interaktives Geogebra-Arbeitsblatt[Bearbeiten]

Das Video zeigt eine Interaktion mit dem obigen Konvexkombinationen. Aus Geogebra heraus wurde das erstellte Arbeitsblatt auf die Geogebra-Materialienseite hochgeladen. Dies können Sie direkt im Browser unter folgendem Link nutzen:

Interaktives Arbeitsblatt: Konvexkombination auf Geogebra

Konvexkombination als Abbildung[Bearbeiten]

Eine Konvexkombination kann für die Interpolation von Punkten und verwendet werden. Seinen ferner die Hilfspunkte ,.... für eine Konvexkombination -ter Ordnung gegeben. Die Konvexkombinationen kann man allgemein als Abbildung von dem Intervall nach wie folgt auffassen:

Konvexkombinatioen in Geogebra - Download[Bearbeiten]

In Geogebra kann man die geometrische Bedeutung der Konvexkombinationen dynamisch visualisieren. Unter dem

In den Beispieldateien werden Konvexkombinationen von zwei Punkten (Vektoren ) behandelt.

Definition der Konvexkombinationen als Abbildungen/Kurven im [Bearbeiten]

Konvexkombination 1. Ordnung[Bearbeiten]

  • Konvexkombination 1. Ordnung erzeugen alle Punkte auf der Verbindungsstrecke zwischen den zwei Punkten .

Konvexkombination 2. Ordnung[Bearbeiten]

  • Eine Konvexkombination 2. Ordnung entsteht mit einem weiteren Hilfpunkte in der Ebene aus den folgenden beiden Konvexkombinationen 1.Ordnung:
(Konvexkombination 1. Ordnung zwischen )
(Konvexkombination 1. Ordnung zwischen )
(Konvexkombination 2. Ordnung zwischen mit dem Hilfpunkt )

Konvexkombination 3. Ordnung[Bearbeiten]

Eine Konvexkombination 3. Ordnung entsteht mit zwei weiteren Hilfpunkte in der Ebene aus den folgenden drei Konvexkombinationen 1.Ordnung:

(Konvexkombination 1. Ordnung zwischen )
(Konvexkombination 1. Ordnung zwischen )

Aus den drei Konvexkombinatioen 1. Ordnung konstruiert man zwei Konvexkombination 2. Ordnung wie folgt:

(Konvexkombination 2. Ordnung zwischen mit dem Hilfpunkt )
(Konvexkombination 2. Ordnung zwischen mit dem Hilfpunkt )

Aus den beiden Konvexkombinationen 2. Ordnung ensteht nun eine Konvexkombination 3. Ordnung wie folgt:

(Konvexkombination 2. Ordnung zwischen mit den Hilfpunkten )

Konvexkombinationen n-ter Ordnung[Bearbeiten]

Allgemein hat eine Konvexkombination -ter Ordnung

  • Hilfspunkte
  • Konvexkombinationen 1. Ordnung,
  • Konvexkombinationen 2. Ordnung,
  • ...
  • Konvexkombinationen -ter Ordnung,
  • ...
  • Konvexkombination n-ter Ordnung,

n der Praxis sind insbesondere die Konvexkombinationen 3. Ordnung von Bedeutung

Konvexkombination von Funktionen[Bearbeiten]

Sei ein Definitionbereich von Funktionen und ein Vektorraum über dem Körper (z.B. und die Menge der stetigen Funktionen von nach . Eine Konvexkombination von zwei stetigen Funktionen mit ist definiert durch:

mit

Aufgabe[Bearbeiten]

  • (Geogebra) Analysieren Sie die Geogebra-Beispieldateien und beschreiben Sie die Bedeutung der Hilfspunkte für die Form der Ortslinie in der Dynamischen Geometrie-Software (DGS) Geogebra.
  • Welche Rolle spielen die Hilfspunkte, um differenzierbare Interpolationen zu erzeugen (Tangentialvektoren).
  • (Interpolation) Vergleichen Sie die Interpolationen nach Lagrange bzw. Newton für vielen Datenpunkte mit der Intepolation durch Konvexkombinationen 3. Ordnung. Welche Schwächen (Oszillation zwischen den Datenpunkten) können Sie mit Geogebra veranschaulichen.
  • (Konvexkombination 3-ter Ordnung) Berechnen Sie die Punkte von Konvexkombinationen 3. Ordnung im mit Maxima CAS (siehe auch Maxima Tutorial der FH-Hagen.
K(t):= A * (1-t)^3 + H1 * (1-t)^2 * t + H2 * (1-t) * t^2 + B * t^3

Definieren Sie die Punkte als 3x1-Matrizen mit:

A : matrix( [-1], [3], [-4] )
  • (Unterschied Konvexkombination 3er Ordnung und kubischen Splines) Analysieren Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede von kubischen Splines und Konvexkombinationen 3er Ordnung! Was ist der Anwendungskontext von kubischen Splines? Wann würden Sie Konvexkombinationen verwenden?
  • (Konvexkombination von Funktionen) Wählen Sie und stellen die Konvexkombination von und in Geogebra mit einem Schieberegler , wobei und ist. Was beobachten Sie, wenn Sie den Schieberegler von 0 auf 1 bewegen? ist beschränkt und ist unbeschränkt auf . Welche Eigenschaft hat für ?

Siehe auch[Bearbeiten]