Konvexkombination

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Veranschaulichung einer Konvexkombination 1., 2. und 3. Ordnung in Geogebra 

Einführung[Bearbeiten]

Gegebenen sei ein reeller Vektorraum . Eine Linearkombination heißt Konvexkombination, wenn alle Koeffizienten aus dem Einheitsintervall [0,1] stammen und die Summe aller für die Vektoren mit 1 ergibt:

Konvexkombinationen von Konvexkombinationen[Bearbeiten]

Eine Konvexkombination von Konvexkombinationen der Ordnung bilden wieder eine Konvexkombinationen der Ordnung . Die Menge aller Konvexkombinationen einer vorgegebenen Menge von Vektoren bezeichnet man als konvexe Hülle.


Video Konvexkombinationen[Bearbeiten]

Interaktives Geogebra-Applet

Bemerkungen Video über Konvexkombinationen der Ordnung 1, 2 und 3 in Geogebra[Bearbeiten]

In dem Video sieht man Konvexkombinationen der

  • 1. Ordnung zwischen und ohne Hilfspunkte,
  • 2. Ordnung zwischen und mit dem Hilfspunkt ,
  • 3. Ordnung zwischen und mit den Hilfspunkten ,

Konvexkombinationen als Polynome von t[Bearbeiten]

Konvexkombination können als Polynome aufgefasst werden, bei denen die Koeffizienten aus einem Vektorraum stammen (siehe auch Polynomalgebra). Wählt man z.B. kann man eine Konvexkombinationen als Element der Polynomalgebra auffassen.

3D-Konvexkombination - 1. Ordnung[Bearbeiten]

Wählt man z.B. und , so eine Konvexkombination 1. Ordnung wie folgt definiert

Eine Konvexkombination 1. Ordnung liefert also ein Polynom mit dem Grad 1. mit dem Argument . Stellen Sie die Konvexkombination in Geogebra 3D mit dar (siehe auch Darstellung einer Geraden durch Richtungsvektor und Ortsvektor).

3D-Konvexkombination - 2. Ordnung[Bearbeiten]

Wählt man wieder und mit einem Hilfpunkt , so liefern zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung die Konvexkombinationen 2. Ordnung.

Stellen Sie als Polynom dar und berechnen Sie berechnen Sie für () die Koeffizienten in .

Berechnung des Polynoms - Ordnung 2[Bearbeiten]

Aufgabe 1: Berechnung des Polynoms - Ordnung 3[Bearbeiten]

  • Berechnen Sie das Polynom 3 Grades und leiten Sie daraus die allgemeine Formel für die Koeffizienten von . Verwenden Sie dazu die Notation und für Konvexkombinationen der Ordnung zwischen den Punkten und mit den Hilfpunkten .
  • Beweisen Sie Ihre Vermutung durch vollständige Induktion.

Interaktives Geogebra-Arbeitsblatt[Bearbeiten]

Das Video zeigt eine Interaktion mit dem obigen Konvexkombinationen. Aus Geogebra heraus wurde das erstellte Arbeitsblatt auf die Geogebra-Materialienseite hochgeladen. Dies können Sie direkt im Browser unter folgendem Link nutzen:

Interaktives Arbeitsblatt: Konvexkombination auf Geogebra

Konvexkombination als Abbildung[Bearbeiten]

Eine Konvexkombination kann für die Interpolation von Punkten und verwendet werden. Seinen ferner die Hilfspunkte ,.... für eine Konvexkombination -ter Ordnung gegeben. Die Konvexkombinationen kann man allgemein als Abbildung von dem Intervall nach wie folgt auffassen:

Konvexkombinatioen in Geogebra - Download[Bearbeiten]

In Geogebra kann man die geometrische Bedeutung der Konvexkombinationen dynamisch visualisieren. Unter dem

In den Beispieldateien werden Konvexkombinationen von zwei Punkten (Vektoren ) behandelt.

Definition der Konvexkombinationen als Abbildungen/Kurven im Vektorraum[Bearbeiten]

Konvexkombination 1. Ordnung[Bearbeiten]

  • Konvexkombination 1. Ordnung erzeugen alle Punkte auf der Verbindungsstrecke zwischen den zwei Punkten .

Konvexkombination 2. Ordnung[Bearbeiten]

  • Eine Konvexkombination 2. Ordnung entsteht mit einem weiteren Hilfpunkte in der Ebene aus den folgenden beiden Konvexkombinationen 1.Ordnung:
(Konvexkombination 1. Ordnung zwischen )
(Konvexkombination 1. Ordnung zwischen )
(Konvexkombination 2. Ordnung zwischen mit dem Hilfpunkt )

Konvexkombination 3. Ordnung[Bearbeiten]

Eine Konvexkombination 3. Ordnung entsteht mit zwei weiteren Hilfpunkte in der Ebene aus den folgenden drei Konvexkombinationen 1.Ordnung:

(Konvexkombination 1. Ordnung zwischen )
(Konvexkombination 1. Ordnung zwischen )
(Konvexkombination 1. Ordnung zwischen )

Konvexkombinationen 2. Ordnung aus KK der 1. Ordung[Bearbeiten]

Aus den drei Konvexkombinatioen 1. Ordnung konstruiert man zwei Konvexkombination 2. Ordnung wie folgt:

(Konvexkombination 2. Ordnung zwischen mit dem Hilfpunkt )
(Konvexkombination 2. Ordnung zwischen mit dem Hilfpunkt )

Konvexkombinationen 3. Ordnung aus KK der 2. Ordung[Bearbeiten]

Aus den beiden Konvexkombinationen 2. Ordnung entsteht nun eine Konvexkombination 3. Ordnung wie folgt:

(Konvexkombination 2. Ordnung zwischen mit den Hilfpunkten )

Konvexkombinationen n-ter Ordnung[Bearbeiten]

Allgemein hat eine Konvexkombination -ter Ordnung

  • Hilfspunkte
  • Konvexkombinationen 1. Ordnung,
  • Konvexkombinationen 2. Ordnung,
  • ...
  • Konvexkombinationen -ter Ordnung,
  • ...
  • Konvexkombination n-ter Ordnung,

In der 3D-Graphik sind insbesondere die Konvexkombinationen 3. Ordnung von Bedeutung (siehe Bezier-Kurven)

Konvexkombination von Funktionen[Bearbeiten]

Sei ein Definitionbereich von Funktionen und ein Vektorraum über dem Körper (z.B. und die Menge der stetigen Funktionen von nach . Eine Konvexkombination von zwei stetigen Funktionen mit ist definiert durch:

mit


Aufgabe 2,3[Bearbeiten]

  • (Geogebra) Analysieren Sie die Geogebra-Beispieldateien und beschreiben Sie die Bedeutung der Hilfspunkte für die Form der Ortslinie in der Dynamischen Geometrie-Software (DGS) Geogebra.
  • Welche Rolle spielen die Hilfspunkte, um differenzierbare Interpolationen zu erzeugen (Tangentialvektoren).
  • (Interpolation) Vergleichen Sie die Interpolationen nach Lagrange bzw. Newton für viele Datenpunkte mit der Interpolation durch mehrere Konvexkombinationen 3. Ordnung vergleichen. Welche Stärken und Schwächen (Oszillation zwischen den Datenpunkten) haben die unterschiedlichen Verfahren. Veranschaulichen Sie diese mit Geogebra.

Aufgabe 3,4[Bearbeiten]

  • (Konvexkombination 3-ter Ordnung) Berechnen Sie die Punkte von Konvexkombinationen 3. Ordnung im mit Maxima CAS (siehe auch Maxima Tutorial der FH-Hagen.
K(t):= A * (1-t)^3 + H1 * (1-t)^2 * t + H2 * (1-t) * t^2 + B * t^3
Definieren Sie die Punkte als 3x1-Matrizen mit:
A : matrix( [-1], [3], [-4] )
  • (Unterschied Konvexkombination 3er Ordnung und kubischen Splines) Analysieren Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede von kubischen Splines und Konvexkombinationen 3er Ordnung! Was ist der Anwendungskontext von kubischen Splines? Wann würden Sie Konvexkombinationen verwenden?

Aufgabe 5,6[Bearbeiten]

  • (Konvexkombination von Funktionen) Wählen Sie und stellen die Konvexkombination von und in Geogebra mit einem Schieberegler , wobei und ist. Was beobachten Sie, wenn Sie den Schieberegler von 0 auf 1 bewegen? ist beschränkt und ist unbeschränkt auf . Welche Eigenschaft hat für ?
  • (Konvexkombinationen und Polynomalgebren) Fassen Sie die Konvexkombination der Ordnung mit Koeffizienten aus einem Vektorraum nach Potenzen von zusammen und betrachten Sie die Koeffizienten aus dem Vektorraum allgemein. Wie werden die Koeffizienten der Polynome aus den Punkten bzw. Hilfspunkten für die Potenzen gebildet? (siehe auch Polynomalgebra und Bezierkurven)

Aufgabe 7,8[Bearbeiten]

  • (Bernsteinpolynome) Analysieren Sie den Zusammenhang von Konvexkombinationen als spezielle Linearkombinationen aus der Linearen Algebra mit Bernsteinpolynomen und Bezierkurven. Bernsteinpolynome für einen bestimmten Grad stellen eine Zerlegung der Eins dar. Welchen Zusammenhang besteht bzgl. einer Zerlegung der Eins bei den Konvexkombinationen. Welche Bedeutung hat dabei eine polynomial Darstellung im Vergleich zu

Siehe auch[Bearbeiten]

Seiteninformation[Bearbeiten]

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Wiki2Reveal[Bearbeiten]

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