Konvexkombination

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Veranschaulichung einer Konvexkombination 1., 2. und 3. Ordnung in Geogebra 

Einführung[Bearbeiten]

Gegebenen sei ein reeller Vektorraum . Eine Linearkombination heißt Konvexkombination, wenn alle Koeffizienten aus dem Einheitsintervall [0,1] stammen und die Summe aller für die Vektoren mit 1 ergibt:

Konvexkombinationen in der Ebene[Bearbeiten]

Wenn man Konvexkombinationen in der Ebene betrachtet, ist der zugrundeliegende Vektorraum der zweidimensionalen Raum . Zunächst betrachten wir in Konvexkombinationen von zwei Vektoren. Durch die Bedingung sind beide Skalare voneinander abhängig. Ist , dann setzt man z.B. und .

Konvexkombinationen als Abbildungen in den Vektorraum[Bearbeiten]

Betrachtet man nun eine Abbildung , so kann man allgemein Konvexkombinationen 1. Ordnung von 2 Vektoren wie folgt über die Abbildung darstellen:

Animation einer Konvexkombination von zwei Vektoren als Abbildung[Bearbeiten]

Konvexkombination als Abbildung in einer GIF-Animation

Konvexkombinationen von 2 Vektoren in Funktionenräumen[Bearbeiten]

Die Behandlung von Konvexkombination mit oder liefert eine Veranschaulichung im Vektorräume aus der Sekundarstufe II als spezielle Linearkombinationen. Konvexkombinationen kann man aber auch auf Funktionenräume angewendet werden. Z.B. seien , so entsteht mit und eine neue Funktion mit:

Der Index in wird verwendet, da in Abhängigkeit von eine andere Funktion definiert wird.

Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen[Bearbeiten]

Sei und als erste Funktion wird ein Polynom definiert.

Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion gewählt.

Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination

Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen[Bearbeiten]

Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen[1].

Geogebra: Interaktives Applet - Download: Geogebra-File

Bemerkung - Deformation[Bearbeiten]

Wenn die erste Funktion die Ausgangsform beschreibt und die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben.

Konvexkombinationen von Konvexkombinationen[Bearbeiten]

In der obigen Animation sieht man eine Konvexkombination von 2 Vektoren in der Ebene oder in einem Funktionenraum betrachtet. Verwendet man drei Punkte so kann man zwischen jeweils zwei Punkten eine Konvexkombination 1. Ordnung erstellen. Wir werden nun Konvexkombinationen höherer Ordnung betrachten, indem man z.B. aus zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung eine Konvexkombination 2. Ordnung konstruiert. Allgemein enstehen aus 2 Konvexkombination der Ordnung eine Konvexkombinationen der Ordnung .

Konvexe Hülle[Bearbeiten]

Die Menge aller Konvexkombinationen einer vorgegebenen Menge von Vektoren bezeichnet man als konvexe Hülle (siehe auch p-konvex Hülle).

Video Konvexkombinationen in der Ebene[Bearbeiten]

Geogebra: Interaktives Applet - Download: Geogebra-File

Bemerkungen Video über Konvexkombinationen der Ordnung 1, 2 und 3 in Geogebra[Bearbeiten]

In dem Video sieht man Konvexkombinationen der

  • 1. Ordnung zwischen und ohne Hilfspunkte,
  • 2. Ordnung zwischen und mit dem Hilfspunkt ,
  • 3. Ordnung zwischen und mit den Hilfspunkten ,

Konvexkombinationen als Polynome von t[Bearbeiten]

Konvexkombination können als Polynome aufgefasst werden, bei denen die Koeffizienten aus einem Vektorraum stammen (siehe auch Polynomalgebra). Wählt man z.B. kann man eine Konvexkombinationen als Element der Polynomalgebra auffassen.

3D-Konvexkombination - 1. Ordnung[Bearbeiten]

Wählt man z.B. und , so eine Konvexkombination 1. Ordnung wie folgt definiert

Eine Konvexkombination 1. Ordnung liefert also ein Polynom mit dem Grad 1. mit dem Argument . Stellen Sie die Konvexkombination in Geogebra 3D mit dar (siehe auch Darstellung einer Geraden durch Richtungsvektor und Ortsvektor).

3D-Konvexkombination - 2. Ordnung[Bearbeiten]

Wählt man wieder und mit einem Hilfpunkt , so liefern zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung die Konvexkombinationen 2. Ordnung.

Stellen Sie als Polynom dar und berechnen Sie berechnen Sie für () die Koeffizienten in .

Bernsteinpolynom - Ordnung 1[Bearbeiten]

Berechnung des Polynoms - Ordnung 2[Bearbeiten]

Bernsteinpolynom - Ordnung 2[Bearbeiten]

Bernsteinpolynoms - Ordnung 3[Bearbeiten]

Aufgabe: Berechnung des Polynoms - Ordnung 3[Bearbeiten]

  • Berechnen Sie das Polynom 3 Grades und leiten Sie daraus die allgemeine Formel für die Koeffizienten von . Verwenden Sie dazu die Notation und für Konvexkombinationen der Ordnung zwischen den Punkten und mit den Hilfpunkten .
  • Beweisen Sie Ihre Vermutung durch vollständige Induktion.

Interaktives Geogebra-Arbeitsblatt[Bearbeiten]

Das Video zeigt eine Interaktion mit dem obigen Konvexkombinationen. Aus Geogebra heraus wurde das erstellte Arbeitsblatt auf die Geogebra-Materialienseite hochgeladen. Dies können Sie direkt im Browser unter folgendem Link nutzen:

Interaktives Arbeitsblatt: Konvexkombination auf Geogebra

Konvexkombination als Abbildung[Bearbeiten]

Eine Konvexkombination kann für die Interpolation von Punkten und verwendet werden. Seinen ferner die Hilfspunkte ,.... für eine Konvexkombination -ter Ordnung gegeben. Die Konvexkombinationen kann man allgemein als Abbildung von dem Intervall nach wie folgt auffassen:

Konvexkombinatioen in Geogebra - Download[Bearbeiten]

In Geogebra kann man die geometrische Bedeutung der Konvexkombinationen dynamisch visualisieren. Unter dem

In den Beispieldateien werden Konvexkombinationen von zwei Punkten (Vektoren ) behandelt.

Definition der Konvexkombinationen als Abbildungen/Kurven im Vektorraum[Bearbeiten]

Konvexkombination 1. Ordnung[Bearbeiten]

  • Konvexkombination 1. Ordnung erzeugen alle Punkte auf der Verbindungsstrecke zwischen den zwei Punkten .

Konvexkombination 2. Ordnung[Bearbeiten]

  • Eine Konvexkombination 2. Ordnung entsteht mit einem weiteren Hilfpunkte in der Ebene aus den folgenden beiden Konvexkombinationen 1.Ordnung:
(Konvexkombination 1. Ordnung zwischen )
(Konvexkombination 1. Ordnung zwischen )
(Konvexkombination 2. Ordnung zwischen mit dem Hilfpunkt )

Konvexkombination 3. Ordnung[Bearbeiten]

Eine Konvexkombination 3. Ordnung entsteht mit zwei weiteren Hilfpunkte in der Ebene aus den folgenden drei Konvexkombinationen 1.Ordnung:

(Konvexkombination 1. Ordnung zwischen )
(Konvexkombination 1. Ordnung zwischen )
(Konvexkombination 1. Ordnung zwischen )

Konvexkombinationen 2. Ordnung aus KK der 1. Ordung[Bearbeiten]

Aus den drei Konvexkombinatioen 1. Ordnung konstruiert man zwei Konvexkombination 2. Ordnung wie folgt:

(Konvexkombination 2. Ordnung zwischen mit dem Hilfpunkt )
(Konvexkombination 2. Ordnung zwischen mit dem Hilfpunkt )

Konvexkombinationen 3. Ordnung aus KK der 2. Ordung[Bearbeiten]

Aus den beiden Konvexkombinationen 2. Ordnung entsteht nun eine Konvexkombination 3. Ordnung wie folgt:

(Konvexkombination 2. Ordnung zwischen mit den Hilfpunkten )

Konvexkombinationen n-ter Ordnung[Bearbeiten]

Allgemein hat eine Konvexkombination -ter Ordnung

  • Hilfspunkte
  • Konvexkombinationen 1. Ordnung,
  • Konvexkombinationen 2. Ordnung,
  • ...
  • Konvexkombinationen -ter Ordnung,
  • ...
  • Konvexkombination n-ter Ordnung,

In der 3D-Graphik sind insbesondere die Konvexkombinationen 3. Ordnung von Bedeutung (siehe Bezier-Kurven)

Konvexkombination von Funktionen[Bearbeiten]

Sei ein Definitionbereich von Funktionen und ein Vektorraum über dem Körper (z.B. und die Menge der stetigen Funktionen von nach . Eine Konvexkombination von zwei stetigen Funktionen mit ist definiert durch:

mit


Konvexkombinationen aus mehr als 2 Vektoren[Bearbeiten]

Im obigen Fall wurde zwei Vektoren aus dem zugrundeliegenden Vektorraum als Konvexkombination untersucht und auch Konvexkombinationen höherer Ordnung konstruiert. Nun wird das Vorgehen auf mehr als 2 Vektoren erweitert, wobei wieder ein Parametrisierung über Vektoren erfolgt.

Konvexkombinationen aus 3 Vektoren[Bearbeiten]

Erweitern Sie den Ansatz auf Konvexkombination mit zwei Parametern und Vektoren über:

und der Abbildung für die Konvexkombinationen in das abgeschlossene Dreieck, das durch die drei Vektoren definiert wird:

Konvexkombinationen aus 4 Vektoren[Bearbeiten]

Für 4 Vektoren verwendet man wieder als Parametrisierung

Die Abbildung stellt dann alle Vektoren aus der konvexe Hülle von dar.

Aufgabe[Bearbeiten]

  • (Geogebra) Analysieren Sie die Geogebra-Beispieldateien und beschreiben Sie die Bedeutung der Hilfspunkte für die Form der Ortslinie in der Dynamischen Geometrie-Software (DGS) Geogebra.
  • Welche Rolle spielen die Hilfspunkte, um differenzierbare Interpolationen zu erzeugen (Tangentialvektoren).
  • (Interpolation) Vergleichen Sie die Interpolationen nach Lagrange bzw. Newton für viele Datenpunkte mit der Interpolation durch mehrere Konvexkombinationen 3. Ordnung vergleichen. Welche Stärken und Schwächen (Oszillation zwischen den Datenpunkten) haben die unterschiedlichen Verfahren. Veranschaulichen Sie diese mit Geogebra.

Aufgabe - 3. Ordnung und funktionale Darstellung[Bearbeiten]

  • (Konvexkombination 3-ter Ordnung) Berechnen Sie die Punkte von Konvexkombinationen 3. Ordnung im mit Maxima CAS (siehe auch Maxima Tutorial der FH-Hagen).
K(t):= A * (1-t)^3 + H1 * (1-t)^2 * t + H2 * (1-t) * t^2 + B * t^3
Definieren Sie die Punkte als 3x1-Matrizen mit:
A : matrix( [-1], [3], [-4] )
  • (Unterschied Konvexkombination 3er Ordnung und kubischen Splines) Analysieren Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede von kubischen Splines und Konvexkombinationen 3er Ordnung! Was ist der Anwendungskontext von kubischen Splines? Wann würden Sie Konvexkombinationen verwenden?

Aufgabe - Konvexkombinationen von Funktionen[Bearbeiten]

  • (Konvexkombination von Funktionen) Wählen Sie und stellen die Konvexkombination von und in Geogebra mit einem Schieberegler (analog zur GIF-Animation), wobei und ist. Was beobachten Sie, wenn Sie den Schieberegler von 0 auf 1 bewegen? ist beschränkt und ist unbeschränkt auf . Welche Eigenschaft hat für ?
  • (Konvexkombinationen und Polynomalgebren) Fassen Sie die Konvexkombination der Ordnung mit Koeffizienten aus einem Vektorraum nach Potenzen von zusammen und betrachten Sie die Koeffizienten aus dem Vektorraum allgemein. Wie werden die Koeffizienten der Polynome aus den Punkten bzw. Hilfspunkten für die Potenzen gebildet? (siehe auch Polynomalgebra und Bezierkurven)

Aufgabe - Bernsteinpolynome und De-Casteljau-Algorithmus[Bearbeiten]

  • (Bernsteinpolynome) Analysieren Sie den Zusammenhang von Konvexkombinationen als spezielle Linearkombinationen aus der Linearen Algebra mit Bernsteinpolynomen und Bezierkurven. Bernsteinpolynome für einen bestimmten Grad stellen eine Zerlegung der Eins dar. Welchen Zusammenhang besteht bzgl. einer Zerlegung der Eins bei den Konvexkombinationen. Welche Bedeutung hat dabei eine polynomial Darstellung in Bezug auf die Zerlegung der 1

Interpolationen[Bearbeiten]

Konvexkombinationen können auch für die Interpolation von Polynomen verwendet werden. Starten Sie zunächst mit Interpolationen der ersten Ordnung, indem die Punkte mit Geraden der Form interpoliert werden. Dabei sind die Punkte Datenpunkte gegeben, die mit den Funktionen stückweise Interpoliert werden. Berechnen Sie aus den Konvexkombinationen die funktionale Darstellung mit :

Berechnung von t in Abhängigkeit von x[Bearbeiten]

Gegeben sei . Wir berechnen nun das zugehörige für die Konvexkombination mit der Vorüberlegung, dass für und für sein soll. Die folgende Abbildung übernimmt die lineare Transformation .

Berechnung des Funktionswertes zu x[Bearbeiten]

Die Konvexkombination

liefert den Interpolationspunkt des Graphen. Man benötigt allerdings nur die y-Koordinate des zugehörigen Interpolationspunktes . Also verwenden wir den folgende Term: .

CAS4Wiki[Bearbeiten]

The CAS4Wiki plot of the trace of a threedimensional convex combination of order 3.

CAS4Wiki Commands

Plot Convex combination

Funktionale Darstellung[Bearbeiten]

Durch Einsetzen für erhält man die lineare Interpolationsfunktion über:

.

Aufagben[Bearbeiten]

  • Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion mit !
  • Übertragen Sie diese Interpolation auf Konvexkombination der Ordnung 3 und überlegen Sie, wie Sie in Abhängigkeit von den Datenpunkten die beiden Hilfspunkte der Interpolation wählen müssen, damit die Interpolation differenzierbar ist und in der Darstellung differenzierbare Übergänge zwischen den Interpolationspunkten generiert.
  • Welche geometrischen Eigenschaften müssen Hilfspunkte zwischen zwei benachbarten Interpolationsintervallen für die Differnzierbarkeit besitzen.

Interpolation mit Konvexkombination der Ordnung 3[Bearbeiten]

Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung

Siehe auch[Bearbeiten]

Wiki2Reveal - Folien[Bearbeiten]

Quellennachweis[Bearbeiten]

  1. Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )

Seiteninformation[Bearbeiten]

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Wiki2Reveal[Bearbeiten]

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Funktionalanalysis' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.