Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül

Einleitung

Bei dem Wirtinger-Kalkül handelt es sich um einen mathematischen Kalkül aus der Funktionentheorie. Der Wirtinger-Kalkül ist nach dem Mathematiker Wilhelm Wirtinger benannt. Mit Hilfe dieser Objekte kann die Darstellung komplexer Ableitungen übersichtlicher gestaltet werden.

Wirtinger-Kalkül

Eine komplexe Zahl $z\in \mathbb {C}$ wird durch $z:=x+\mathrm {i} y$ in zwei reelle Zahlen zerlegt. Für die folgende Funktion

$f:G\to \mathbb {C} \,{\mbox{ }}\,(x,y)\to f(x,y)$

sei $G\subset \mathbb {R} ^{2}$ ein Gebiet.

Zerlegung in Realteil- und Imaginärteilfunktion

Die Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ wird nun in die Realteil- und Imaginärteilfunktion $f=u+\mathrm {i} v\colon G\to \mathbb {C}$ zerlegt.

Definition Realteil- und Imaginärteilfunktion

Die Realteilfunktion

$u:G\to \mathbb {R} \,{\mbox{ }}\,(x,y)\to u(x,y)$

und die Imaginärteilfunktion

$v:G\to \mathbb {R} \,{\mbox{ }}\,(x,y)\to v(x,y)$

sind jeweils eine (reell) differenzierbare Funktion.

Existenz der partiellen Ableitungen

Die partiellen Ableitungen von $f$ existieren und können als Linearkombination der partielle Ableitungen von $u$ und $v$ wie folgt geschrieben werden:

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial u}{\partial x}}(x,y)+\mathrm {i} {\frac {\partial v}{\partial x}}(x,y)$

und

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial u}{\partial y}}(x,y)+\mathrm {i} {\frac {\partial v}{\partial y}}(x,y)$.

Berechnung der Wirtinger-Ableitungen

Im nächsten Abschnitt werden nun die Wirtinger-Ableitungen eingeführt, welche ebenfalls partielle Differentialoperatoren sind. Jedoch sind diesWikipedia Authorse einfacher zu berechnen, da die komplexwertige Funktion nicht in Real- und Imaginärteil zerlegt werden muss. Statt der Koordinaten $x$ und $y$ verwendet man $z=x+\mathrm {i} y$ und ${\bar {z}}=x-\mathrm {i} y$.

Richtungsableitung

Sei $G\subset \mathbb {R} ^{2}$ eine offene wegzusammenhängende Menge und $f:G\rightarrow \mathbb {C}$ eine Funktion, die in einer Umgebung $U\subseteq G$ von $z_{o}$. Dann versteht man unter der Richtungsableitung von $f$ im Punkt $z_{o}=(x_{o},y_{o})\in \mathbb {R} ^{2}$ in Richtung des Vektors $v=(v_{1},v_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ den Limes

${\frac {\partial f}{\partial v}}(z_{o}):=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z_{o}+h\cdot v)-f(z_{o})}{h}}$

Bemerkungen - Partielle Ableitungen

• Der Limes muss existieren.
• Partielle Ableitung kann man as spezielle Ableitungen mit $v=(1,0)$ bzw. $v=(0,1)$ auffassen.
• Bei einer total differenzierbaren Funktion $f:G\rightarrow \mathbb {C}$ lässt sich die Richtungsableitung als Skalarprodukt $\langle v,Grad(f)(z_{o})\rangle$ aus $v$ und dem Gradient von $f$ an der Stelle $z_{o}$.

Komplexe Konjugation und Richtungsableitungen

Aus den komplexen Zahlen $z=x+\mathrm {i} y$ und ${\bar {z}}=x-\mathrm {i} y$ auf $\mathbb {R} ^{2}$ übertragen ist $z=(x,y)$ und ${\overline {z}}=(x,-y)$. Die partiellen Ableitungen ${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})$ und ${\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{o})$ sind komplexwertig. Damit definiert man bei einer total differenzierbaren Funktion $f$ die folgende Differentiale.

Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen

Eine Funktion $f$ ist in $x_{o}+iy_{o}$ genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für $u,v$ mit $u:G\rightarrow \mathbb {R}$, $v:G\rightarrow \mathbb {R}$ mit $G\subset \mathbb {R} ^{2}$ die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für $z_{o}=(x_{o},y_{o})\in \mathbb {R} ^{2}$

${\frac {\partial u}{\partial x}}(x_{o},y_{o})={\frac {\partial v}{\partial y}}(x_{o},y_{o})$

$\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}(x_{o},y_{o})=-{\frac {\partial v}{\partial x}}(x_{o},y_{o})$

erfüllt sind und ${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})={\frac {\partial u}{\partial x}}(z_{o})+i\cdot {\frac {\partial v}{\partial x}}(z_{o})$ bzw. ${\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{o})={\frac {\partial u}{\partial y}}(z_{o})+i\cdot {\frac {\partial v}{\partial y}}(z_{o})$ gilt.

Richtungsableitungen und partielle Ableitungen

Definiert man mit CRG die so genannten Wirtinger-Ableitungen

${\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{o}):={\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})-i\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{o})\right)$

und

${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}(z_{o}):={\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})+i\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{o})\right),$

so erhält man ${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}(z_{o})=0$ ein Holomorphiekriterium.

Einsetzen der partielle Ableitungen

Durch das Einsetzen der Wirtinger-Ableitungen erhält man jeweils die partielle Ableitungen mit:

${\begin{array}{rcl}{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{o})+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}(z_{o})\right)&=&{\frac {1}{2}}\cdot \left(\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})-i\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})\right)+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})+i\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{o})\right)\right)\\&=&{\frac {1}{2}}\cdot \left(2\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})\right)={\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})\\{\frac {i}{2}}\cdot \left({\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{o})-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}(z_{o})\right)&=&{\frac {i}{2}}\cdot \left(\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})-i\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})\right)-\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})+i\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{o})\right)\right)\\&=&{\frac {i}{2}}\cdot \left(-2i\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{o})\right)={\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{o})\end{array}}$

Darstellung partieller Ableitungen über Richtungsableitungen

Insgesamt erhält man mit $z=x+iy$ in $\mathbb {C}$ über $\textstyle x={\frac {1}{2}}(z+{\bar {z}})$ und $\textstyle y={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(z-{\bar {z}})={\frac {\mathrm {i} }{2}}({\bar {z}}-z)$ die Darstellung von Realteil und Imaginärteil. Überträgt man die Gleichungen auf $\mathbb {R} ^{2}$ so erhält man also mit $G\subset \mathbb {R} ^{2}$ und $f:G\rightarrow \mathbb {C}$ die partiellen Ableitungen

${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})={\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{o})+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}(z_{o})\right)\in \mathbb {C}$

und

${\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{o})={\frac {i}{2}}\cdot \left({\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}(z_{o})-{\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{o})\right)\in \mathbb {C}$

Motivation - Kurzdarstellung

Für die Differentiale erhält man daraus

$\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}(\mathrm {d} z+\mathrm {d} {\bar {z}})$ und $\mathrm {d} y={\frac {\mathrm {i} }{2}}(\mathrm {d} {\bar {z}}-\mathrm {d} z)$.

Einsetzen in das totale Differential und Umsortieren liefert

$\mathrm {d} f={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\mathrm {d} z+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\mathrm {d} {\bar {z}}$.

Formale Darstellung der Ableitung

Um (formal) die Beziehung $\mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial z}}\mathrm {d} z+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\mathrm {d} {\bar {z}}$ zu erhalten, setzt man

${\frac {\partial f}{\partial z}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)$

und

${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)$.

Dies sind die Wirtinger-Ableitungen.

Kurzform der Notation

Für $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial z}}$ schreibt man auch kurz $\,\partial f$, für $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}$ schreibt man ${\bar {\partial }}f$. Der Operator ${\overline {\partial }}$ heißt Cauchy-Riemann-Operator.

Totales Differential

Mit Hilfe der partiellen Ableitungen schreibt sich das (totale) Differential von $f$ als

$\mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y$.

als Richtungsableitungen für $v=(1,1)$ und ${\overline {v}}=(1,-1)$ die Darstellung über die partiellen Ableitungen.

Holomorphe Funktionen

Der Wirtinger-Kalkül findet insbesondere in der Funktionentheorie Anwendung, da für holomorphe Funktionen die Notation sich auf ein Minimum reduziert. Außerdem ist dieser Kalkül sehr stabil, wie Eigenschaften 3 und 4 im nächsten Abschnitt zeigen.

Eine reell differenzierbare Funktion ist genau dann eine holomorphe Funktion, wenn ${\overline {\partial }}f=0$ gilt. In diesem Fall ist $\partial f$ die Ableitung von $f$. Dies gilt, da die Gleichung ${\overline {\partial }}f=0$ eine sehr kurze Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ist. Aus diesem Grund trägt der Operator ${\overline {\partial }}$ den Namen Cauchy-Riemann-Operator.

Gilt hingegen für eine reell differenzierbare Funktion $f$ die Gleichung $\partial f=0$ so nennt man diese Funktion antiholomorph und das reelle Differential kann mit Hilfe von Eigenschaft 1 aus ${\overline {\partial }}f$ berechnet werden.

Eigenschaften

Beziehung zur partiellen Ableitung

Es gelten die Gleichungen

${\frac {\partial f}{\partial x}}=\partial f+{\overline {\partial }}f$

und

${\frac {\partial f}{\partial y}}=\mathrm {i} \left(\partial f-{\overline {\partial }}f\right)$.

Linearität

Die Operatoren $\partial$ und ${\overline {\partial }}$ sind $\mathbb {C}$-linear, das heißt für $a,b\in \mathbb {C}$ und reell differenzierbare Funktionen $f,g\colon G\to \mathbb {C}$ gilt

$\partial (af+bg)=a\partial f+b\partial g$

und

${\overline {\partial }}(af+bg)=a{\overline {\partial }}f+b{\overline {\partial }}g$.

Komplexe Konjugation

Für jede reell differenzierbare Funktion $f$ gilt

${\overline {\partial }}f={\overline {\partial {\overline {f}}}}$

und

${\overline {\partial }}\ {\overline {f}}={\overline {\partial f}}$.

Kettenregel

Für die Wirtinger-Ableitungen gilt die Kettenregel

${\frac {\partial (g\circ f)}{\partial z}}(z_{0})={\frac {\partial g}{\partial w}}(f(z_{0}))\cdot {\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})+{\frac {\partial g}{\partial {\overline {w}}}}(f(z_{0}))\cdot {\frac {\partial {\overline {f}}}{\partial z}}(z_{0})$

und

${\frac {\partial (g\circ f)}{\partial {\overline {z}}}}(z_{0})={\frac {\partial g}{\partial w}}(f(z_{0}))\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}(z_{0})+{\frac {\partial g}{\partial {\overline {w}}}}(f(z_{0}))\cdot {\frac {\partial {\overline {f}}}{\partial {\overline {z}}}}(z_{0})$.

Hauptsymbol

Das Hauptsymbol von $\partial$ ist $\xi \mapsto {\tfrac {1}{2}}(\xi _{1}-\mathrm {i} \xi _{2})$ und das Hauptsymbol von ${\overline {\partial }}$ ist $\xi \mapsto {\tfrac {1}{2}}(\xi _{1}+\mathrm {i} \xi _{2})$. Beide Differentialoperatoren sind also elliptisch.

Assoziierter Laplace- und Dirac-Operator

Mit den Wirtinger-Ableitungen kann man den Laplace-Operator durch

$\Delta f=4\partial {\overline {\partial }}f=4{\overline {\partial }}\partial f$

darstellen. Daraus folgt insbesondere, dass der Operator

$D:=2{\begin{pmatrix}0&-\partial \\{\overline {\partial }}&0\end{pmatrix}}$

ein Dirac-Operator ist.

Fundamentallösung

Die Fundamentallösung des Cauchy-Riemann-Operators $\textstyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ ist $\textstyle {\frac {1}{\pi z}}$, das heißt die durch die Funktion $\textstyle u(z)={\frac {1}{\pi z}}$ erzeugte Distribution löst die Gleichung $\textstyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}u(z)=\delta$, wobei $\delta$ die Delta-Distribution ist. Eine Herleitung ist im Artikel Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen zu finden.

Literatur

• Ingo Lieb & Wolfgang Fischer: Funktionentheorie: Komplexe Analysis in einer Veränderlichen, Vieweg & Teubner, 2005, ISBN 978-3-8348-0013-8.
• Ingo Lieb: The Cauchy-Riemann Complex, Vieweg Aspects of Mathematics, 2002, ISBN 978-3-528-06954-4.

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