Bei dem Wirtinger-Kalkül handelt es sich um einen mathematischen Kalkül aus der Funktionentheorie. Der Wirtinger-Kalkül ist nach dem Mathematiker Wilhelm Wirtinger benannt. Mit Hilfe dieser Objekte kann die Darstellung komplexer Ableitungen übersichtlicher gestaltet werden.
Eine komplexe Zahl
wird durch
in zwei reelle Zahlen zerlegt. Für die folgende Funktion

sei
ein Gebiet.
Zerlegung in Realteil- und Imaginärteilfunktion
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Die Funktion
wird nun in die Realteil- und Imaginärteilfunktion
zerlegt.
Definition Realteil- und Imaginärteilfunktion
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Die Realteilfunktion

und die Imaginärteilfunktion

sind jeweils eine (reell) differenzierbare Funktion.
Die partiellen Ableitungen von
existieren und können als Linearkombination der partielle Ableitungen von
und
wie folgt geschrieben werden:

und
.
Im nächsten Abschnitt werden nun die Wirtinger-Ableitungen eingeführt, welche ebenfalls partielle Differentialoperatoren sind. Jedoch sind diesWikipedia Authorse einfacher zu berechnen, da die komplexwertige Funktion nicht in Real- und Imaginärteil zerlegt werden muss.
Statt der Koordinaten
und
verwendet man
und
.
Sei
eine offene wegzusammenhängende Menge und
eine Funktion, die in einer Umgebung
von
. Dann versteht man unter der Richtungsableitung von
im Punkt
in Richtung des Vektors
den Limes

- Der Limes muss existieren.
- Partielle Ableitung kann man as spezielle Ableitungen mit
bzw.
auffassen.
- Bei einer total differenzierbaren Funktion
lässt sich die Richtungsableitung als Skalarprodukt
aus
und dem Gradient von
an der Stelle
.
Komplexe Konjugation und Richtungsableitungen
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Aus den komplexen Zahlen
und
auf
übertragen ist
und
. Die partiellen Ableitungen
und
sind komplexwertig. Damit definiert man bei einer total differenzierbaren Funktion
die folgende Differentiale.
Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen
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Eine Funktion
ist in
genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für
mit
,
mit
die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für


erfüllt sind und
bzw.
gilt.
Richtungsableitungen und partielle Ableitungen
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Definiert man mit CRG die so genannten Wirtinger-Ableitungen

und

so erhält man
ein Holomorphiekriterium.
Durch das Einsetzen der Wirtinger-Ableitungen erhält man jeweils die partielle Ableitungen mit:

Darstellung partieller Ableitungen über Richtungsableitungen
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Insgesamt erhält man mit
in
über
und
die Darstellung von Realteil und Imaginärteil. Überträgt man die Gleichungen auf
so erhält man also mit
und
die partiellen Ableitungen

und

Für die Differentiale erhält man daraus
und
.
Einsetzen in das totale Differential und Umsortieren liefert
.
Um (formal) die Beziehung
zu erhalten, setzt man

und
.
Dies sind die Wirtinger-Ableitungen.
Für
schreibt man auch kurz
, für
schreibt man
. Der Operator
heißt Cauchy-Riemann-Operator.
Mit Hilfe der partiellen Ableitungen schreibt sich das (totale) Differential von
als
.
als Richtungsableitungen für
und
die Darstellung über die partiellen Ableitungen.
Der Wirtinger-Kalkül findet insbesondere in der Funktionentheorie Anwendung, da für holomorphe Funktionen die Notation sich auf ein Minimum reduziert. Außerdem ist dieser Kalkül sehr stabil, wie Eigenschaften 3 und 4 im nächsten Abschnitt zeigen.
Eine reell differenzierbare Funktion ist genau dann eine holomorphe Funktion, wenn
gilt. In diesem Fall ist
die Ableitung von
. Dies gilt, da die Gleichung
eine sehr kurze Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ist. Aus diesem Grund trägt der Operator
den Namen Cauchy-Riemann-Operator.
Gilt hingegen für eine reell differenzierbare Funktion
die Gleichung
so nennt man diese Funktion antiholomorph und das reelle Differential kann mit Hilfe von Eigenschaft 1 aus
berechnet werden.
Es gelten die Gleichungen

und
.
Die Operatoren
und
sind
-linear, das heißt für
und reell differenzierbare Funktionen
gilt

und
.
Für jede reell differenzierbare Funktion
gilt

und
.
Für die Wirtinger-Ableitungen gilt die Kettenregel

und
.
Das Hauptsymbol von
ist
und das Hauptsymbol von
ist
. Beide Differentialoperatoren sind also elliptisch.
Assoziierter Laplace- und Dirac-Operator
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Mit den Wirtinger-Ableitungen kann man den Laplace-Operator durch

darstellen. Daraus folgt insbesondere, dass der Operator

ein Dirac-Operator ist.
Die Fundamentallösung des Cauchy-Riemann-Operators
ist
, das heißt die durch die Funktion
erzeugte Distribution löst die Gleichung
, wobei
die Delta-Distribution ist. Eine Herleitung ist im Artikel Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen zu finden.
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