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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 13/latex

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\setcounter{section}{13}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{,} \maabb {f} {U} { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {komplex differenzierbare}{}{} Funktion und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ \subseteq }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein achsenparalleles abgeschlossenes Rechteck, und sei \maabbdisp {\gamma} {I} {R } {} der stetige, stückweise lineare Weg, der den Rand von $R$ gleichmäßig durchläuft. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma fdz }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B \left( P,r \right) }
{ \subseteq }{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit $U$ \definitionsverweis {offen}{}{.} Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ > }{ r }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B \left( P,r \right) }
{ \subseteq }{ U { \left( P,s \right) } }
{ \subseteq }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{} ${ \frac{ dz }{ z } }$ auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ < }{ \betrag { P } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei \maabb {\gamma} { I} { U } {} der Weg, der den Kreis mit Mittelpunkt $P$ und Radius $r$ einfach gegen den Uhrzeigersinn durchläuft. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma { \frac{ dz }{ z } } }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{} ${ \frac{ dz }{ z } }$ auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ > }{ \betrag { P } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei \maabb {\gamma} { I} { U } {} der Weg, der den Kreis mit Mittelpunkt $P$ und Radius $r$ einfach gegen den Uhrzeigersinn durchläuft. Zeige mit Korollar 13.5, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma { \frac{ dz }{ z } } }
{ =} { 2 \pi { \mathrm i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Halbannullus
\mathl{{ \left( B \left( 0,2 \right) \setminus B \left( 0,1 \right) \right) } \cap {\mathbb H}}{} nicht \definitionsverweis {sternförmig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Brechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} zur \definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ z^2-1 } } dz}{} zum einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg mit Mittelpunkt
\mathl{(0,0)}{} und Radius $2$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise Satz 13.7 direkt für ein Polynom $f$ unter Verwendung von Beispiel 12.6.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise Satz 13.7 direkt für eine Funktion $f$, die durch eine \definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{} auf
\mathl{U { \left( P,r \right) }}{} gegeben ist, unter Verwendung von Beispiel 12.6.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme den maximalen Sektor des Annullus
\mathl{B \left( 0,2 \right) \setminus B \left( 0,1 \right)}{,} der \definitionsverweis {sternförmig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Brechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} zur \definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ z^3-1 } } dz}{} zum einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg mit Mittelpunkt
\mathl{(-5,0)}{} und Radius $5$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $f$ eine auf einer offenen Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der $0$ \definitionsverweis {komplex differenzierbare}{}{} Funktion derart, dass auch
\mathl{{ \frac{ f }{ z } }}{} komplex-differenzierbar ist. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(0) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}