Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 18/latex
\setcounter{section}{18}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die Funktion \maabbeledisp {g} {\R \setminus \{0\} } {\R } {x} { e^{ - { \frac{ 1 }{ x } } } } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die Funktion \maabbeledisp {g} {\R \setminus \{0\} } {\R } {x} { e^{ - { \frac{ 1 }{ x^2 } } } } {.} Ist diese Funktion im Nullpunkt stetig fortsetzbar?
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Sin_x^-1.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Sin_x^-1.svg } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {gemeinfrei} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die Funktion \maabbeledisp {g} {\R_+} {\R } {x} { \sin { \frac{ 1 }{ x } } } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die durch
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \neq 0\, , \\ 0 \text{ sonst}\, , \end{cases}} { }
definierte Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
nicht stetig ist, aber dem Zwischenwertsatz genügt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der
\definitionsverweis {Funktionslimes}{}{}
für
\mathbed {x \in \R \setminus \{0\}} {}
{x \rightarrow 0} {}
{} {} {} {,}
existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.
\aufzaehlungdrei{$\sin \frac{1}{x}$,
}{$x \cdot \sin \frac{1}{x}$,
}{$\frac{1}{x} \cdot \sin \frac{1}{x}$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche den
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \begin{cases} \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \neq 0\, , \\ 0 \text{ sonst}\, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
auf
\definitionsverweis {Zusammenhangseigenschaften}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \begin{cases}x \cdot \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \neq 0 \, , \\ 0 \text{ sonst}\, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist. Ist der Graph dieser Funktion \anfuehrung{zeichenbar}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \in {]0,1]}, \\ 0 \text{ für } x = 0,\end{cases}} { }
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist und unendlich viele
\definitionsverweis {Nullstellen}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \in {]0,1]}, \\ 0 \text{ für } x = 0,\end{cases}} { }
unendlich viele
\definitionsverweis {isolierte lokale Maxima}{}{}
und unendlich viele
\definitionsverweis {isolierte lokale Minima}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die \zusatzklammer {stetige} {} {} Funktion \maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R } {x} { f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x} \text{ bei } x > 0 \, , \\ 0 \text{ bei } x = 0 \, , \end{cases} } {} nicht \definitionsverweis {rektifizierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die durch
\mathdisp {f(x) = \begin{cases}x \cdot \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \neq 0\, , \\ 0 \text{ sonst} \, , \end{cases}} { }
definierte Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {.}
Zeige, dass es zu jedem
\mathl{\lambda,\, - 1 \leq \lambda \leq 1}{,} eine Nullfolge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N } \in \R_+}{} derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten
\mathdisp {{ \frac{ f(x_n) -f(0) }{ x_n } }} { }
gegen $\lambda$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {\R_+ } {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ \R_+ \times \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
von $f$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ \Gamma }
}
{ \subseteq }{ \R \times \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
von $\Gamma$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left( 0 \times \R \right) } \cap \overline{ \Gamma }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass jedes
\definitionsverweis {abgeschlossene Intervall}{}{}
als ein solches $M$ zu einer stetigen Funktion $f$ auftritt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {\R_+ } {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ \R_+ \times \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
von $f$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ \Gamma }
}
{ \subseteq }{ \R \times \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
von $\Gamma$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left( 0 \times \R \right) } \cap \overline{ \Gamma }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $M$ leer oder ein
\definitionsverweis {abgeschlossenes Intervall}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} { U { \left( 0,r \right) } \setminus \{0\} } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{,}
die in $0$ eine
\definitionsverweis {wesentliche Singularität}{}{}
besitze. Zeige, dass
\mathl{z^n f}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls eine wesentliche Singularität besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f} {U \setminus \{a\} } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}
Zeige, dass $f$ in $a$ genau dann eine
\definitionsverweis {wesentliche Singularität}{}{}
besitzt, wenn dies für die Ableitung $f'$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f} {U \setminus \{a\} } { {\mathbb C}
} {}
eine nullstellenfreie
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}
Zeige, dass $f$ in $a$ genau dann eine
\definitionsverweis {wesentliche Singularität}{}{}
besitzt, wenn dies für ${ \frac{ 1 }{ f } }$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f} {U \setminus \{a\} } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ { \left( U \setminus \{a\} \right) } \times {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
von $f$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ \Gamma }
}
{ \subseteq }{ U \times {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
von $\Gamma$. Zeige, dass es die drei Möglichkeiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ \Gamma } \cap { \left( \{ a\} \times {\mathbb C} \right) }
}
{ =} { \begin{cases} \text{ ein Punkt} \, ,\\ \text{ leer} \, ,\\ \{ a\} \times {\mathbb C}\, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $S$ die Menge der holomorphen Keime $f$ auf
\definitionsverweis {punktierten Kreisscheiben}{}{}
\mathl{U { \left( 0,r \right) } \setminus \{ 0 \}}{}
\zusatzklammer {zu variierenden Radien
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ r
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass $S$ ein kommutativer Ring ist.
}{Charakterisiere die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
von $S$.
}{Zeige, dass die Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der nach $0$ holomorph fortsetzbaren Funktionskeime mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $S$ ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
auf
\mathl{U { \left( 0,r \right) }}{,} die auf der
\definitionsverweis {punktierten Kreisscheibe}{}{}
\mathl{U { \left( 0,r \right) } \setminus \{0\}}{}
\definitionsverweis {holomorph}{}{}
sei. Zeige, dass $0$ kein Häufungspunkt der Nullstellen von $f$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer
\definitionsverweis {holomorphen}{}{}
Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf der
\definitionsverweis {punktierten Kreisscheibe}{}{}
\mathl{U { \left( 0,r \right) } \setminus \{0\}}{} derart, dass $0$ ein
\definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{}
der Nullstellen von $f$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} { U { \left( 0,r \right) } \setminus \{0\} } { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {holomorphe}{}{} Funktion und sei $[f]$ der zugehörige Funktionskeim \zusatzklammer {es werden also solche Funktionen miteinander identifiziert, wenn sie auf einer hinreichend kleinen \definitionsverweis {punktierten Kreisscheibe}{}{} übereinstimmen} {} {.} Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{Der Nullpunkt ist kein \definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{} der Nullstellenmenge von $f$. }{Für jeden holomorphen Repräsentanten \maabbdisp {g} {U { \left( 0,r \right) } \setminus \{0\} } { {\mathbb C} } {} ist der Nullpunkt kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von $g$. }{Es gibt einen nullstellenfreien holomorphen Repräsentanten \maabbdisp {g} {U { \left( 0,r \right) } \setminus \{0\} } { {\mathbb C} } {.} }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ die Menge der holomorphen Keime $f$ auf
\definitionsverweis {punktierten Kreisscheiben}{}{}
\mathl{U { \left( 0,r \right) } \setminus \{ 0 \}}{} mit der Eigenschaft, dass der Nullpunkt kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von $f$ ist
\zusatzklammer {abgesehen vom Nullkeim, der zu $R$ gehört} {} {.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass $R$ ein kommutativer Ring ist.
} {Zeige, dass $R$ ein Körper ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R
}
{ =} { \text{ Ring der holomorphen Keime auf } U { \left( 0,r \right) } \text{ ohne Nullstelle (aber mit } 0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { \text{ Ring der holomorphen Keime auf } U { \left( 0,r \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit $r$ variierend} {} {.}
Zeige, dass die folgenden
\zusatzklammer {jeweils echten} {} {}
Inklusionen vorliegen.
\mathdisp {\begin{matrix}
{\mathbb C} [T]_{(T)} & \subseteq & {\mathbb C}\langle \! \langle T \rangle \!\rangle & \searrow & & \nearrow & S \\
\downarrow & & \downarrow & & R & & \downarrow & \\
{\mathbb C} (T) & \subseteq & { \mathcal M}_0 & \nearrow & & \searrow & Q(S) \, .
\end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {diskrete Teilmenge}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} { {\mathbb C} \setminus D } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}
Es gebe ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(z) }
}
{ \leq} { B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C} \setminus D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $f$ konstant ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass Satz 18.6 nicht für \definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{} gilt, die auf einem nach außen unbeschränkten \definitionsverweis {Kreisring}{}{} definiert sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {f} {U} { {\mathbb C} } {} eine auch einem nach außen unbeschränkten \definitionsverweis {Kreisring}{}{} $U$ definierte \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ genau dann eine \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{} ist, wenn die auf einer offenen punktierten Umgebung $V$ der $0$ definierte holomorphe Funktion \maabbeledisp {} { V } { {\mathbb C} } {w} { f { \left( { \frac{ 1 }{ w } } \right) } } {,} im Nullpunkt keine \definitionsverweis {wesentliche Singularität}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es $n$ Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass es auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { {\mathbb C} \setminus \{P_1 , \ldots , P_n\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine von der Identität verschiedene
\definitionsverweis {biholomorphe Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {U} { U
} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U,V
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{,}
die zueinander
\definitionsverweis {biholomorph}{}{}
seien. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Automorphismengruppen}{}{}
\mathkor {} {\operatorname{Aut} \, U} {und} {\operatorname{Aut} \, V} {}
zueinander
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {g} {]0,1] } {\R_+
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(1)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ \defeq} { \begin{cases} g(x)\, , \text{ für } x \leq 1,\, \\ { \frac{ 1 }{ g \left( \frac{ 1 }{ x } \right) } } \text{ sonst} \, ,\end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Funktion
\maabbdisp {f} {\R_+} { \R_+
} {}
gegeben ist, die die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f \left( \frac{ 1 }{ x } \right)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ f(x) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {h} {\R } {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{,}
wir betrachten dazu die zusammengesetzte Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ \defeq} { \exp \circ h \circ \ln
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f (x)
}
{ \defeq} { \exp \left( h { \left( \ln x \right) } \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf $\R_+$.
\aufzaehlungzwei {Bestimme für die lineare Funktion
\zusatzklammer {mit dem Proportionalitätsfaktor $c$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(t)
}
{ =} { ct
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die zugehörige Funktion
\mathl{f(x)}{.}
} {Es sei nun $h$ eine beliebige
\definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{.}
Zeige, dass $f$ die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f \left( \frac{ 1 }{ x } \right)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ f(x) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\maabbdisp {f} { \R^2 \setminus \{(0,0)\} } { \R
} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f (x,y)
}
{ =} { \sin^{ 2 } \left( { \frac{ 1 }{ x^2+y^2 } } \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Begründe, dass das Singularitätsverhalten von $f$ um $0$ nicht das Singularitätsverhalten des Betrages einer holomorphen Funktion auf
\mathl{{\mathbb C} \setminus \{0\}}{} sein kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Beschreibe die Gruppenstruktur auf der Gruppe der Automorphismen von
\mathl{{\mathbb C} \setminus \{0\}}{} mit Hilfe der Menge
\mathl{{ \left( {\mathbb C} \setminus \{0\} \right) } \times \{ 1,-1\}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{}
\maabbdisp {f} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } { {\mathbb C} \setminus \{0\}
} {}
mit der Eigenschaft, dass sie im Nullpunkt keine
\definitionsverweis {wesentliche Singularität}{}{}
besitzen und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f \left( \frac{ 1 }{ z } \right)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ f(z) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C} \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{?}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{}
\maabbdisp {f} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } { {\mathbb C} \setminus \{0\}
} {}
mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f \left( \frac{ 1 }{ z } \right)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ f(z) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C} \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Beschreibe die
\definitionsverweis {biholomorphen}{}{}
Automorphismen auf der
\definitionsverweis {oberen Halbebene}{}{}
\mathl{{\mathbb H}}{} ähnlich zu
Satz 18.13.
}
{} {}