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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 18

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Übungsaufgaben

Skizziere die Funktion



Skizziere die Funktion

Ist diese Funktion im Nullpunkt stetig fortsetzbar?



Skizziere die Funktion



Zeige, dass die durch

definierte Funktion

nicht stetig ist, aber dem Zwischenwertsatz genügt.



Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für , , existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

  1. ,
  2. ,
  3. .



Untersuche den Graphen der durch

gegebenen Funktion auf Zusammenhangseigenschaften.



Zeige, dass die durch

definierte Funktion

stetig ist. Ist der Graph dieser Funktion „zeichenbar“?



Zeige, dass die Funktion

stetig ist und unendlich viele Nullstellen besitzt.



Zeige, dass die Funktion

unendlich viele isolierte lokale Maxima und unendlich viele isolierte lokale Minima besitzt.



Zeige, dass die (stetige) Funktion

nicht rektifizierbar ist.



Wir betrachten die durch

definierte Funktion

Zeige, dass es zu jedem , eine Nullfolge derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten

gegen konvergiert.



Es sei eine stetige Funktion und sei der Graph von . Es sei der Abschluss von und sei

Zeige, dass jedes abgeschlossene Intervall als ein solches zu einer stetigen Funktion auftritt.



Es sei eine stetige Funktion und sei der Graph von . Es sei der Abschluss von und sei

Zeige, dass leer oder ein abgeschlossenes Intervall ist.



Es sei

eine holomorphe Funktion, die in eine wesentliche Singularität besitze. Zeige, dass für jedes ebenfalls eine wesentliche Singularität besitzt.



Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und

eine holomorphe Funktion. Zeige, dass in genau dann eine wesentliche Singularität besitzt, wenn dies für die Ableitung gilt.



Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und

eine nullstellenfreie holomorphe Funktion. Zeige, dass in genau dann eine wesentliche Singularität besitzt, wenn dies für gilt.



Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und

eine holomorphe Funktion. Es sei der Graph von und sei der Abschluss von . Zeige, dass es die drei Möglichkeiten

gibt.



Es sei die Menge der holomorphen Keime auf punktierten Kreisscheiben (zu variierenden Radien ).

  1. Zeige, dass ein kommutativer Ring ist.
  2. Charakterisiere die Einheiten von .
  3. Zeige, dass die Teilmenge der nach holomorph fortsetzbaren Funktionskeime mit kein Ideal in ist.



Es sei eine meromorphe Funktion auf , die auf der punktierten Kreisscheibe holomorph sei. Zeige, dass kein Häufungspunkt der Nullstellen von ist.



Man gebe ein Beispiel einer holomorphen Funktion auf der punktierten Kreisscheibe derart, dass ein Häufungspunkt der Nullstellen von ist.



Es sei

eine holomorphe Funktion und sei der zugehörige Funktionskeim (es werden also solche Funktionen miteinander identifiziert, wenn sie auf einer hinreichend kleinen punktierten Kreisscheibe übereinstimmen). Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Der Nullpunkt ist kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von .
  2. Für jeden holomorphen Repräsentanten

    ist der Nullpunkt kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von .

  3. Es gibt einen nullstellenfreien holomorphen Repräsentanten



Es sei die Menge der holomorphen Keime auf punktierten Kreisscheiben mit der Eigenschaft, dass der Nullpunkt kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von ist (abgesehen vom Nullkeim, der zu gehört).

  1. Zeige, dass ein kommutativer Ring ist.
  2. Zeige, dass ein Körper ist.



Es sei

und

(mit variierend). Zeige, dass die folgenden (jeweils echten) Inklusionen vorliegen.



Es sei eine diskrete Teilmenge und sei

eine holomorphe Funktion. Es gebe ein mit

für alle . Zeige, dass konstant ist.



Zeige, dass Satz 18.6 nicht für holomorphe Funktionen gilt, die auf einem nach außen unbeschränkten Kreisring definiert sind.



Es sei eine auch einem nach außen unbeschränkten Kreisring definierte holomorphe Funktion. Zeige, dass genau dann eine rationale Funktion ist, wenn die auf einer offenen punktierten Umgebung der definierte holomorphe Funktion

im Nullpunkt keine wesentliche Singularität besitzt.



Es sei . Zeige, dass es Punkte derart gibt, dass es auf

eine von der Identität verschiedene biholomorphe Abbildung gibt.



Es seien offene Teilmengen, die zueinander biholomorph seien. Zeige, dass die Automorphismengruppen und zueinander isomorph sind.



Es sei

eine stetige Funktion mit . Zeige, dass durch

eine Funktion

gegeben ist, die die Bedingung

für alle erfüllt.



Es sei

eine Funktion, wir betrachten dazu die zusammengesetzte Funktion

also

auf .

  1. Bestimme für die lineare Funktion (mit dem Proportionalitätsfaktor )

    die zugehörige Funktion .

  2. Es sei nun eine beliebige ungerade Funktion. Zeige, dass die Bedingung

    für alle erfüllt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

durch

gegeben. Begründe, dass das Singularitätsverhalten von um nicht das Singularitätsverhalten des Betrages einer holomorphen Funktion auf sein kann.



Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die Gruppenstruktur auf der Gruppe der Automorphismen von mit Hilfe der Menge .



Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die holomorphen Funktionen

mit der Eigenschaft, dass sie im Nullpunkt keine wesentliche Singularität besitzen und dass

für alle ist.



Aufgabe (? Punkte)

Bestimme die holomorphen Funktionen

mit der Eigenschaft, dass

für alle ist.



Aufgabe (4 Punkte)

Beschreibe die biholomorphen Automorphismen auf der oberen Halbebene ähnlich zu Satz 18.13.




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