Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 18

Übungsaufgaben

Aufgabe

Skizziere die Funktion

$g\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{-{\frac {1}{x}}}.$

Aufgabe

Skizziere die Funktion

$g\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}.$

Ist diese Funktion im Nullpunkt stetig fortsetzbar?

Aufgabe

Skizziere die Funktion

$g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin {\frac {1}{x}}.$

Aufgabe

Zeige, dass die durch

$f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}$

definierte Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

nicht stetig ist, aber dem Zwischenwertsatz genügt.

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für ${}x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$, ${}x\rightarrow 0$, existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

1. ${}\sin {\frac {1}{x}}$,
2. ${}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}$,
3. ${}{\frac {1}{x}}\cdot \sin {\frac {1}{x}}$.

Aufgabe

Untersuche den Graphen der durch

${}f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

gegebenen Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ auf Zusammenhangseigenschaften.

Aufgabe

Zeige, dass die durch

${}f(x)={\begin{cases}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definierte Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

stetig ist. Ist der Graph dieser Funktion „zeichenbar“?

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\in {]0,1]},\\0{\text{ für }}x=0,\end{cases}}$

stetig ist und unendlich viele Nullstellen besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\in {]0,1]},\\0{\text{ für }}x=0,\end{cases}}$

unendlich viele isolierte lokale Maxima und unendlich viele isolierte lokale Minima besitzt.

Aufgabe *

Zeige, dass die (stetige) Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ bei }}x>0\,,\\0{\text{ bei }}x=0\,,\end{cases}}$

nicht rektifizierbar ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die durch

$f(x)={\begin{cases}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}$

definierte Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

Zeige, dass es zu jedem ${}\lambda ,\,-1\leq \lambda \leq 1$, eine Nullfolge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} _{+}$ derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten

${\frac {f(x_{n})-f(0)}{x_{n}}}$

gegen ${}\lambda$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} _{+}\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion und sei ${}\Gamma \subseteq \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R}$ der Graph von ${}f$. Es sei ${}{\overline {\Gamma }}\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ der Abschluss von ${}\Gamma$ und sei

${}M={\left(0\times \mathbb {R} \right)}\cap {\overline {\Gamma }}\,.$

Zeige, dass jedes abgeschlossene Intervall als ein solches ${}M$ zu einer stetigen Funktion ${}f$ auftritt.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} _{+}\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion und sei ${}\Gamma \subseteq \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R}$ der Graph von ${}f$. Es sei ${}{\overline {\Gamma }}\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ der Abschluss von ${}\Gamma$ und sei

${}M={\left(0\times \mathbb {R} \right)}\cap {\overline {\Gamma }}\,.$

Zeige, dass ${}M$ leer oder ein abgeschlossenes Intervall ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion, die in ${}0$ eine wesentliche Singularität besitze. Zeige, dass ${}z^{n}f$ für jedes ${}n\in \mathbb {Z}$ ebenfalls eine wesentliche Singularität besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Zeige, dass ${}f$ in ${}a$ genau dann eine wesentliche Singularität besitzt, wenn dies für die Ableitung ${}f'$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine nullstellenfreie holomorphe Funktion. Zeige, dass ${}f$ in ${}a$ genau dann eine wesentliche Singularität besitzt, wenn dies für ${}{\frac {1}{f}}$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Es sei ${}\Gamma \subseteq {\left(U\setminus \{a\}\right)}\times {\mathbb {C} }$ der Graph von ${}f$ und sei ${}{\overline {\Gamma }}\subseteq U\times {\mathbb {C} }$ der Abschluss von ${}\Gamma$. Zeige, dass es die drei Möglichkeiten

${}{\overline {\Gamma }}\cap {\left(\{a\}\times {\mathbb {C} }\right)}={\begin{cases}{\text{ ein Punkt}}\,,\\{\text{ leer}}\,,\\\{a\}\times {\mathbb {C} }\,,\end{cases}}\,$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}S$ die Menge der holomorphen Keime ${}f$ auf punktierten Kreisscheiben ${}U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}$ (zu variierenden Radien ${}r>0$).

1. Zeige, dass ${}S$ ein kommutativer Ring ist.
2. Charakterisiere die Einheiten von ${}S$.
3. Zeige, dass die Teilmenge ${}A\subseteq S$ der nach ${}0$ holomorph fortsetzbaren Funktionskeime mit ${}f(0)=0$ kein Ideal in ${}S$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf ${}U{\left(0,r\right)}$, die auf der punktierten Kreisscheibe ${}U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}$ holomorph sei. Zeige, dass ${}0$ kein Häufungspunkt der Nullstellen von ${}f$ ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer holomorphen Funktion ${}f\neq 0$ auf der punktierten Kreisscheibe ${}U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}$ derart, dass ${}0$ ein Häufungspunkt der Nullstellen von ${}f$ ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion und sei ${}[f]$ der zugehörige Funktionskeim (es werden also solche Funktionen miteinander identifiziert, wenn sie auf einer hinreichend kleinen punktierten Kreisscheibe übereinstimmen). Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Der Nullpunkt ist kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von ${}f$.
2. Für jeden holomorphen Repräsentanten

   $g\colon U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   ist der Nullpunkt kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von ${}g$.

3. Es gibt einen nullstellenfreien holomorphen Repräsentanten

   $g\colon U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ die Menge der holomorphen Keime ${}f$ auf punktierten Kreisscheiben ${}U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}$ mit der Eigenschaft, dass der Nullpunkt kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von ${}f$ ist (abgesehen vom Nullkeim, der zu ${}R$ gehört).

1. Zeige, dass ${}R$ ein kommutativer Ring ist.
2. Zeige, dass ${}R$ ein Körper ist.

Aufgabe

Es sei

${}R={\text{ Ring der holomorphen Keime auf }}U{\left(0,r\right)}{\text{ ohne Nullstelle (aber mit }}0)\,$

und

${}S={\text{ Ring der holomorphen Keime auf }}U{\left(0,r\right)}\,$

(mit ${}r$ variierend). Zeige, dass die folgenden (jeweils echten) Inklusionen vorliegen.

${\begin{matrix}{\mathbb {C} }[T]_{(T)}&\subseteq &{\mathbb {C} }\langle \!\langle T\rangle \!\rangle &\searrow &&\nearrow &S\\\downarrow &&\downarrow &&R&&\downarrow &\\{\mathbb {C} }(T)&\subseteq &{\mathcal {M}}_{0}&\nearrow &&\searrow &Q(S)\,.\end{matrix}}$

Aufgabe

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {C} }$ eine diskrete Teilmenge und sei

$f\colon {\mathbb {C} }\setminus D\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Es gebe ein ${}B\in \mathbb {R}$ mit

${}\vert {f(z)}\vert \leq B\,$

für alle ${}z\in {\mathbb {C} }\setminus D$. Zeige, dass ${}f$ konstant ist.

Aufgabe

Zeige, dass Satz 18.6 nicht für holomorphe Funktionen gilt, die auf einem nach außen unbeschränkten Kreisring definiert sind.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auch einem nach außen unbeschränkten Kreisring ${}U$ definierte holomorphe Funktion. Zeige, dass ${}f$ genau dann eine rationale Funktion ist, wenn die auf einer offenen punktierten Umgebung ${}V$ der ${}0$ definierte holomorphe Funktion

$V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto f{\left({\frac {1}{w}}\right)},$

im Nullpunkt keine wesentliche Singularität besitzt.

Aufgabe *

Es sei ${}n\geq 2$. Zeige, dass es ${}n$ Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in {\mathbb {C} }$ derart gibt, dass es auf

${}U={\mathbb {C} }\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}\,$

eine von der Identität verschiedene biholomorphe Abbildung ${}\varphi \colon U\rightarrow U$ gibt.

Aufgabe

Es seien ${}U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ offene Teilmengen, die zueinander biholomorph seien. Zeige, dass die Automorphismengruppen ${}\operatorname {Aut} \,U$ und ${}\operatorname {Aut} \,V$ zueinander isomorph sind.

Aufgabe *

Es sei

$g\colon ]0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine stetige Funktion mit ${}g(1)=1$. Zeige, dass durch

${}f(x):={\begin{cases}g(x)\,,{\text{ für }}x\leq 1,\,\\{\frac {1}{g\left({\frac {1}{x}}\right)}}{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

eine Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

gegeben ist, die die Bedingung

${}f\left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{f(x)}}\,$

für alle ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ erfüllt.

Aufgabe *

Es sei

$h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion, wir betrachten dazu die zusammengesetzte Funktion

${}f:=\exp \circ h\circ \ln \,,$

also

${}f(x):=\exp \left(h{\left(\ln x\right)}\right)\,$

auf ${}\mathbb {R} _{+}$.

1. Bestimme für die lineare Funktion (mit dem Proportionalitätsfaktor ${}c$)

   ${}h(t)=ct\,$

   die zugehörige Funktion ${}f(x)$.

2. Es sei nun ${}h$ eine beliebige ungerade Funktion. Zeige, dass ${}f$ die Bedingung

   ${}f\left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{f(x)}}\,$

   für alle ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ erfüllt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R}$

durch

${}f(x,y)=\sin ^{2}\left({\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}\right)\,$

gegeben. Begründe, dass das Singularitätsverhalten von ${}f$ um ${}0$ nicht das Singularitätsverhalten des Betrages einer holomorphen Funktion auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ sein kann.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die Gruppenstruktur auf der Gruppe der Automorphismen von ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ mit Hilfe der Menge ${}{\left({\mathbb {C} }\setminus \{0\}\right)}\times \{1,-1\}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die holomorphen Funktionen

$f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$

mit der Eigenschaft, dass sie im Nullpunkt keine wesentliche Singularität besitzen und dass

${}f\left({\frac {1}{z}}\right)={\frac {1}{f(z)}}\,$

für alle ${}z\in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ ist.

Aufgabe (? Punkte)

Bestimme die holomorphen Funktionen

$f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$

mit der Eigenschaft, dass

${}f\left({\frac {1}{z}}\right)={\frac {1}{f(z)}}\,$

für alle ${}z\in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Beschreibe die biholomorphen Automorphismen auf der oberen Halbebene ${}{\mathbb {H} }$ ähnlich zu Satz 18.13.