Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/13/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 6 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 5 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleeinundzwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {leere} {} Menge.
}{Die \stichwort {Identität} {} auf einer Menge $M$.
}{Die
\stichwort {Multiplikation} {}
\mathl{a \cdot b}{} von natürlichen Zahlen
\mathl{a,b}{.}
}{Das
\stichwort {Minimum} {}
zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Eine \stichwort {Gruppe} {.}
}{Eine \stichwort {lineare} {} Funktion \maabb {f} {K} {K } {} auf einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.
}{Die Identität auf $M$ ist die Abbildung von $M$ nach $M$, die jedes Element
\mathl{x \in M}{} auf sich selbst abbildet.
}{Das
Produkt
\mathl{a \cdot b}{} ist definiert als die $a$-fache Summe der Zahl $b$ mit sich selbst.
}{Das Element $a$ heißt das
Minimum
von $T$, wenn
\mathl{a \in T}{} ist und wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \leq }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in T}{} gilt.
}{Eine Menge $G$ mit einem ausgezeichneten Element
\mathl{e \in G}{} und mit einer
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbeledisp {} {G \times G} {G
} {(g,h)} { g \circ h
} {,}
heißt
Gruppe,
wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
\aufzaehlungdrei{Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle
\mathl{f,g,h \in G}{} gilt
\mathdisp {(f\circ g)\circ h =f \circ (g \circ h)} { . }
}{Das Element $e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle
\mathl{g\in G}{} gilt
\mathdisp {g \circ e = g = e \circ g} { . }
}{Zu jedem
\mathl{g \in G}{} gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein
\mathl{h \in G}{} mit
\mathdisp {h \circ g=g \circ h =e} { . }
}
}{Eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
der Form
\maabbeledisp {f} {K} {K
} {x} { c x
} {,}
mit einem festen $c \in K$ heißt
lineare Funktion.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {erste binomische Formel} {} für einen kommutativen Halbring.}{Der Satz über die Division mit Rest für die ganzen Zahlen.}{Der Satz über die Konvergenz einer Dezimalbruchfolge.}
}
{
\aufzaehlungdrei{In einem
\definitionsverweis {kommutativen Halbring}{}{}
$R$ gilt die erste binomische Formel, also die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a+b)^2
}
{ =} {a^2+2ab+b^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei $d$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl $n$ eine eindeutig bestimmte ganze Zahl $q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl
\mathbed {r} {}
{0 \leq r \leq d-1} {}
{} {} {} {,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {qd+r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei
\mathl{x \in K}{} ein Element in einem
\definitionsverweis {archimedisch angeordneten Körper}{}{}
$K$. Dann
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Dezimalbruchfolge}{}{}
\mathbed {(x_n)} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
gegen $x$.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Beschreibe mit Quantoren die Eigenschaft einer Abbildung \maabbdisp {F} {L} {M } {,} konstant zu sein.
}
{
Es gibt ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ L
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ =} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Symbolischer:
\mathdisp {\exists y \in M (\forall x \in L (F(x)=y))} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2 (1+1)}
{
Wir betrachten auf der Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \{a,b,c,d \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die durch die Tabelle
%Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ $\star$ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ $a$ }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $b$ }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $c$ }
\renewcommand{\leitzeilevier}{ $d$ }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ $a$ }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $b$ }
\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $c$ }
\renewcommand{\leitspaltevier}{ $d$ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }
\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }
\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ b }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ a }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ c }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ a }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ d }
\renewcommand{\azweixzwei}{ a }
\renewcommand{\azweixdrei}{ b }
\renewcommand{\azweixvier}{ b }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ }
\renewcommand{\azweixsechs}{ }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ a }
\renewcommand{\adreixzwei}{ b }
\renewcommand{\adreixdrei}{ c }
\renewcommand{\adreixvier}{ c }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ }
\renewcommand{\adreixsechs}{ }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ b }
\renewcommand{\avierxzwei}{ d }
\renewcommand{\avierxdrei}{ d }
\renewcommand{\avierxvier}{ d }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierxsechs}{ }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ }
\renewcommand{\asechsxdrei}{ }
\renewcommand{\asechsxvier}{ }
\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitvierxvier
gegebene Verknüpfung $\star$.
\aufzaehlungzwei {Berechne
\mathdisp {b \star ( a \star (d \star a))} { . }
} {Besitzt die Verknüpfung $\star$ ein neutrales Element?
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b \star ( a \star (d \star a))
}
{ =} { b \star ( a \star b )
}
{ =} { b \star a
}
{ =} { d
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Es gibt kein neutrales Element, da dann eine Zeile eine Wiederholung der Leitzeile sein müsste, was nicht der Fall ist.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei
\mathl{a \in R}{} ein Element in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{.}
Berechne
\mathl{20 a}{} mit maximal fünf Additionen.
}
{
Wir berechnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ \defeq} {a+a
}
{ =} {2a
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ \defeq} {b+b
}
{ =} {4a
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d
}
{ \defeq} {c+c
}
{ =} {8a
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e
}
{ \defeq} {d+d
}
{ =} {16 a
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{20 a
}
{ =} { 16 a +4a
}
{ =} { e +c
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei $M$ eine Menge und $a,b \in M$ zwei verschiedene Elemente. Definiere durch eine Fallunterscheidung eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} von $M$ nach $M$, die \mathkor {} {a} {und} {b} {} vertauscht, und sonst alle Elemente unverändert lässt.
}
{
Wir definieren
\maabbdisp {f} {M} {M
} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \defeq} { \begin{cases} b,\, \text{ wenn } x = a \, , \\ a,\, \text{ wenn } x = b \, , \\ x \text{ sonst} \, .\end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Diese Abbildung ist bijektiv und besitzt offenbar die gewünschte Vertauschungseigenschaft.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Eindeutigkeit der Multiplikation auf $\N$.
}
{Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $M$ eine Menge und
\mathl{\preccurlyeq}{} eine
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
auf $M$. Zeige durch Induktion über $n \geq 2$ die Aussage: Wenn für Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n \in M}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1
}
{ \preccurlyeq} {a_2
}
{ \preccurlyeq} { \ldots
}
{ \preccurlyeq} { a_{n-1}
}
{ \preccurlyeq} { a_n
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_n
}
{ \preccurlyeq} { a_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, dann sind alle $a_1 , \ldots , a_n$ gleich.
}
{
Der Induktionsanfang
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt unmittelbar aus der Antisymmetrie. Es sei also die Aussage für ein gewisses $n \geq 2$ schon bewiesen und es liegen $n+1$ Elemente mit den Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1
}
{ \preccurlyeq} {a_2
}
{ \preccurlyeq} { \ldots
}
{ \preccurlyeq} { a_{n}
}
{ \preccurlyeq} { a_{n+1}
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{n+1}
}
{ \preccurlyeq} { a_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor. Wegen der Transitivität der Ordnung gilt dann auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{n}
}
{ \preccurlyeq} { a_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit gelten auch die Bedingungen in der Induktionsvoraussetzung. Somit ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1
}
{ =} {a_2
}
{ =} { \ldots
}
{ =} { a_{n}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{n}
}
{ \preccurlyeq} { a_{n+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{n+1}
}
{ \preccurlyeq} { a_{1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
stimmt auch
\mathl{a_{n+1}}{} mit diesem Element überein.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Gabi Hochster hat sich wieder über Frau Maier-Sengupta geärgert. Sie möchte sagen \anfuehrung{Frau Maier-Sengupta ist unterbelichtet}{,} doch weil sie keinen neuen Vermerk kassieren will, ändert sie in dem Satz jeden Vokal \zusatzklammer {stellenweise} {} {} zu einem anderen Vokal \zusatzklammer {ohne Umlaute} {} {} und jeden Diphthong \zusatzklammer {für uns sind das au, ai und eu} {} {} zu einem anderen Diphthong. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?
}
{
In dem Satz kommen zwei Diphthonge und zehn
\zusatzklammer {einzelne} {} {}
Vokale vor. Für die Diphthonge gibt es jeweils zwei Änderungsmöglichkeiten, für die Vokale jeweils vier. Insgesamt gibt es also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^2 \cdot 4^{10}
}
{ =} {4^{11}
}
{ =} { 1024 \cdot 1024 \cdot 4
}
{ =} {4194304
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Möglichkeiten.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Binomialkoeffizienten}{}{}
die rekursive Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n+1 } { k }
}
{ =} { \binom { n } { k } + \binom { n } { k-1 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \binom { n } { k } + \binom { n } { k-1 }
}
{ =} { { \frac{ n! }{ (n-k)!k! } } + { \frac{ n! }{ (n-(k-1))!(k-1)! } }
}
{ =} { { \frac{ n! }{ (n-k)!k! } } + { \frac{ n! }{ (n+1-k)!(k-1)! } }
}
{ =} { { \frac{ (n+1-k) \cdot n! }{ (n+1-k)!k! } } + { \frac{ k \cdot n! }{ (n+1-k)!k ! } }
}
{ =} { { \frac{ (n+1-k+k) \cdot n! }{ (n+1-k)!k ! } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ (n+1)! }{ (n+1-k)!k ! } }
}
{ =} { \binom { n+1 } { k }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es seien
\mathl{a,b,c,d}{} natürliche Zahlen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b
}
{ =} {c+d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a-c
}
{ =} {d-b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Aus der Annahme
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ >} {d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt mit
\zusatzklammer {der echt größer Version von} {} {}
Satz 10.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) (2)
der Widerspruch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b
}
{ >} {c+d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zur Voraussetzung. Wenn man zu der zu beweisenden Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a-c
}
{ =} {d-b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beidseitig
\mathl{c+b}{} addiert, so erhält man die wahre Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a-c) + (c+b)
}
{ =} { a+b
}
{ =} { c+d
}
{ =} { (d-b) +(c+b)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen der Abziehregel muss dann auch die in Frage stehende Gleichung wahr sein.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es seien
\mathl{a,b,c,d}{} positive natürliche Zahlen. Es sei $b$ ein Teiler von $a$ und $d$ ein Teiler von $c$. Ferner sei
\mathl{{ \frac{ c }{ d } }}{} ein Teiler von
\mathl{{ \frac{ a }{ b } }}{.} Zeige, dass dann $bc$ ein Teiler von $ad$ ist, und dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \, \, { \frac{ a }{ b } } \, \, }{ \, \, { \frac{ c }{ d } } \, \, } }
}
{ =} { { \frac{ ad }{ bc } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Aufgrund der Voraussetzungen können wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a
}
{ =} { br
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} {ds
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ b } }
}
{ =} { t { \frac{ c }{ d } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit natürlichen Zahlen
\mathl{r,s,t}{} schreiben. Aufgrund der ersten und der dritten Zeile ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r
}
{ =} { { \frac{ a }{ b } }
}
{ =} { t { \frac{ c }{ d } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ad
}
{ =} { brd
}
{ =} { bd { \frac{ tc }{ d } }
}
{ =} { t bc
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist $ad$ ein Vielfaches von $bc$. Für den Quotienten gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ ad }{ bc } }
}
{ =} { t
}
{ =} { { \frac{ \, \, { \frac{ a }{ b } } \, \, }{ \, \, { \frac{ c }{ d } } \, \, } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige, dass es zu ganzen Zahlen $d,n$ mit $d>0$ eindeutig bestimmte ganze Zahlen $k,s$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {k d+s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - { \frac{ d }{ 2 } }
}
{ <} { s
}
{ \leq} { { \frac{ d }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{
Aufgrund der Division mit Rest in $\Z$ gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen $q$ und $r$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \leq} {r
}
{ <} { d
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { qd+r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r
}
{ \leq} { { \frac{ d }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Existenz bewiesen. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r
}
{ >} { { \frac{ d }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ \defeq} { r-d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ >} { s
}
{ =} { r-d
}
{ >} { { \frac{ d }{ 2 } } -d
}
{ =} { - { \frac{ d }{ 2 } }
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { qd+r
}
{ =} { (q+1) d+r-d
}
{ =} { (q+1) d+s
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt die Existenz. Aus zwei Darstellungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{kd+s
}
{ =} {n
}
{ =} {\ell d +t
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \geq }{t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { (k- \ell)d +s-t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq} {s-t
}
{ <} { d
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Eindeutigkeit in der Division mit Rest sichert die Eindeutigkeit in der vorliegenden Form.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Man bestimme den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} und man gebe eine Darstellung des $\operatorname{ggT}$ von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} mittels dieser Zahlen an.
}
{
Der euklidische Algorithmus liefert:
\mathdisp {3146 = 2 \cdot 1515 + 116} { }
\mathdisp {1515 = 13 \cdot 116 + 7} { }
\mathdisp {116 = 16 \cdot 7 + 4} { }
\mathdisp {7 = 1 \cdot 4 + 3} { }
\mathdisp {4 = 1 \cdot 3 + 1} { . }
Die Zahlen
\mathkor {} {3146} {und} {1515} {}
sind also teilerfremd und $1$ ist ihr größter gemeinsamer Teiler. Eine Darstellung der $1$ erhält man, indem man diese Division mit Rest rückwärts liest, also
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{1
}
{ =} {4 -1 \cdot 3
}
{ =} {4-(7- 1 \cdot 4)
}
{ =} {2 \cdot 4-7
}
{ =} {2(116-16 \cdot 7) -7
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {2 \cdot 116 - 33 \cdot 7
}
{ =} {2 \cdot 116 - 33 (1515- 13 \cdot 116)
}
{ =} {-33 \cdot 1515 +(2 + 13 \cdot 33) \cdot 116
}
{ =} {-33 \cdot 1515 +431 \cdot 116
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {-33 \cdot 1515 +431 (3146-2\cdot 1515)
}
{ =} {-895 \cdot 1515 +431 \cdot 3146
}
{ } {}
{ } {}
}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen
\mathdisp {3^4 \cdot 5^2,\, 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^1 \cdot 7^1,\, 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^2} { . }
Die Ergebnisse sollen ausgerechnet vorliegen.
}
{
Nach
Korollar 21.9 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))
\zusatzklammer {angewendet auf drei Zahlen} {} {}
ist der größte gemeinsame Teiler gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3^2 \cdot 5^1
}
{ =} { 45
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und das kleinste geminsame Vielfache ist gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7
}
{ =} { 32 \cdot 81 \cdot 25 \cdot 7
}
{ =} { 2592 \cdot 175
}
{ =} { 453600
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte \anfuehrung{Gaumenfreude}{} zu ernähren. Eine Tafel
besitzt einen Energiewert von
\mathl{2300}{} kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist
\mathl{10000}{} kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag
\zusatzklammer {gerundet auf zwei Nachkommastellen} {} {}
und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?
}
{
Er muss pro Tag ca.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 10000 }{ 2300 } }
}
{ =} { 4{,}35
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Tafeln essen, in der Woche also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{7 \cdot 4{,}35
}
{ =} { 30{,}45
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Tafeln.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Zeige, dass für die Differenz von rationalen Zahlen die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ b } } - { \frac{ c }{ d } }
}
{ =} { { \frac{ ad-bc }{ bd } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Die Subtraktion ist die Addition mit dem Negativen, und das Negative von
\mathl{{ \frac{ c }{ d } }}{} ist
\mathl{{ \frac{ -c }{ d } }}{.} Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ b } } - { \frac{ c }{ d } }
}
{ =} { { \frac{ a }{ b } } + { \frac{ -c }{ d } }
}
{ =} { { \frac{ ad + (-c) b }{ bd } }
}
{ =} { { \frac{ ad + (-cb) }{ bd } }
}
{ =} {{ \frac{ ad -cb }{ bd } }
}
}
{}{}{,}
wobei wir in den letzten beiden Schritten Vorzeichenregeln für ganze Zahlen verwendet haben.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
An der Tafel steht der Bruch
\mathdisp {{ \frac{ 541000 }{ 3520000 } }} { , }
es ist aber nicht klar, auf welches Stellensystem er sich bezieht. Welche Vereinfachung kann man auf jeden Fall vornehmen?
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 541000 }{ 3520000 } }
}
{ =} { { \frac{ 541 }{ 3520 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
unabhängig vom Stellenwertsystem, da $n$ hintere Nullen bedeuten, dass ein Vielfaches von $b^n$ vorliegt, wenn $b$ die Basis des Systems bezeichnet, und dies kann man kürzen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die algebraische Struktur der Dezimalbrüche.
}
{
Die Brüche seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { a \cdot 10^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { b \cdot 10^\ell
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k,\ell
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Symmetrie können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \geq }{\ell
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a \cdot 10^k + b \cdot 10^\ell
}
{ =} { a \cdot 10^{k-\ell} \cdot 10^\ell + b \cdot 10^\ell
}
{ =} { { \left( a \cdot 10^{k-\ell} + b \right) } \cdot 10^\ell
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wieder von der gleichen Bauart, also ein Dezimalbruch. Für das Produkt ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a \cdot 10^k \cdot b \cdot 10^\ell
}
{ =} { a \cdot b \cdot 10^{k+\ell}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die anderen Behauptungen sind ebenfalls klar.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6 (3+2+1)}
{
In einer Äpfelpackung befinden sich stets sechs Äpfel, die zusammen ein Kilo wiegen sollen, wobei eine Toleranz zwischen $995$ und
\mathl{1005}{} Gramm erlaubt ist. Der kleinste Apfel in der Packung muss mindestens $90$ Prozent des Gewichts des größten Apfels der Packung haben.
\aufzaehlungdrei{Wie schwer
\zusatzklammer {in gerundeten Gramm} {} {}
kann ein Apfel in einer Packung maximal sein?
}{Wie leicht
\zusatzklammer {in gerundeten Gramm} {} {}
kann ein Apfel in einer Packung minimal sein?
}{Um wie viel Prozent ist der größtmögliche Apfel schwerer als der kleinstmögliche Apfel?
}
}
{
Die Gewichte der Äpfel seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1
}
{ \leq} {x_2
}
{ \leq} {x_3
}
{ \leq} {x_4
}
{ \leq} {x_5
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \leq} {x_6
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
und die Bedingungen sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{995
}
{ \leq} {x_1 +x_2+x_3+x_4+x_5+x_6
}
{ \leq} {1005
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1
}
{ \geq} {0{,}9 x_6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Wenn $x_6$ besonders groß werden soll, so hat man die besten Chancen beim Gesamtgewicht $1005$ Gramm und wenn die fünf übrigen Äpfel alle möglichst klein sind. Daher setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1
}
{ =} {x_2
}
{ =} {x_3
}
{ =} {x_4
}
{ =} {x_5
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1
}
{ =} {0{,}9x_6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
an. Dies führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1005
}
{ =} { 5x_1 + x_6
}
{ =} { 5 \cdot 0{,}9 x_6 +x_6
}
{ =} {5{,}5 x_6
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Division führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1005 :5{,}5
}
{ =} { 182{,}72..
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also gerundet
\mathl{183}{} Gramm. 90 Prozent davon sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{182{,}72 - 18{,}27
}
{ =} {164{,}45
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die anderen Äpfel der Packung wiegen also $164$ Gramm.
}{Der analoge Ansatz führt auf das Gesamtgewicht $995$ Gramm,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2
}
{ =} {x_3
}
{ =} {x_4
}
{ =} {x_5
}
{ =} {x_6
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1
}
{ =} {0{,}9 x_6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{995
}
{ =} { x_1 + 5x_6
}
{ =} { 5{,}9 x_6
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Division ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{995 : 5{,}9
}
{ =} { 168{,}64 ..
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1
}
{ =} { 168{,}64 - 16{,}86
}
{ =} { 151{,}78
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der leichteste Apfel hat also das Gewicht $152$ Gramm, die anderen fünf Äpfel in der Packung wiegen
\mathl{169}{} Gramm.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 183: 152
}
{ =} {1{,}2039
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
der größtmögliche Apfel in einer Packung ist also $20$ Prozent größer als der kleinstmögliche Apfel in einer Packung.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Man gebe explizit ein $m$ mit der Eigenschaft an, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1,03^n
}
{ \geq} { n^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Mit dem allgemeinen binomischen Lehrsatz ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 1{,}03^n
}
{ =} {( 1+ 0{,}03)^n
}
{ =} { 1+ n \cdot 0{,}03 + \binom { n } { 2 } 0{,}03^2 + \binom { n } { 3 } 0{,}03^3 + \ldots
}
{ \geq} { \binom { n } { 3 } 0{,}03^3
}
{ =} { { \frac{ n(n-1)(n-2) }{ 6 } } \cdot { \frac{ 27 }{ 1000000 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { n^2 \cdot { \left( { \frac{ (n-1)(n-2) }{ 6 n } } \cdot { \frac{ 27 }{ 1000000 } } \right) }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Dies soll
\mathl{\geq n^2}{} werden, was man dadurch erreichen kann, dass der Klammerausdruck rechts
\mathl{\geq 1}{} wird. Dieser Ausdruck ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ (n-1)(n-2) }{ 6 n } } \cdot { \frac{ 27 }{ 1000000 } }
}
{ =} { { \frac{ n^2 - 3n +2 }{ n } } \cdot { \frac{ 9 }{ 2000000 } }
}
{ =} { { \left( n -3 + { \frac{ 2 }{ n } } \right) } \cdot { \frac{ 9 }{ 2000000 } }
}
{ \geq} { { \left( n -3 \right) } \cdot { \frac{ 9 }{ 2000000 } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( n -3 \right) } \cdot { \frac{ 9 }{ 2000000 } }
}
{ \geq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wird zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq} { { \frac{ 2000000 }{ 9 } } +3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was jedenfalls bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq} { 300000
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt ist. Man kann also beispielsweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m
}
{ =} {300 000
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nehmen.
}