Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/13/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenf}{ 2 }

\renewcommand{\asechs}{ 2 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 2 }

\renewcommand{\azehn}{ 4 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 1 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 6 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 5 }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ 64 }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleeinundzwanzig


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {leere} {} Menge.

}{Die \stichwort {Identität} {} auf einer Menge $M$.

}{Die \stichwort {Multiplikation} {}
\mathl{a \cdot b}{} von natürlichen Zahlen
\mathl{a,b}{.}

}{Das \stichwort {Minimum} {} zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Eine \stichwort {Gruppe} {.}

}{Eine \stichwort {lineare} {} Funktion \maabb {f} {K} {K } {} auf einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. }

}
{

\aufzaehlungsechs{Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt. }{Die Identität auf $M$ ist die Abbildung von $M$ nach $M$, die jedes Element
\mathl{x \in M}{} auf sich selbst abbildet. }{Das Produkt
\mathl{a \cdot b}{} ist definiert als die $a$-fache Summe der Zahl $b$ mit sich selbst. }{Das Element $a$ heißt das Minimum von $T$, wenn
\mathl{a \in T}{} ist und wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \leq }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mathl{x \in T}{} gilt. }{Eine Menge $G$ mit einem ausgezeichneten Element
\mathl{e \in G}{} und mit einer \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {} {G \times G} {G } {(g,h)} { g \circ h } {,} heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind. \aufzaehlungdrei{Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle
\mathl{f,g,h \in G}{} gilt
\mathdisp {(f\circ g)\circ h =f \circ (g \circ h)} { . }
}{Das Element $e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle
\mathl{g\in G}{} gilt
\mathdisp {g \circ e = g = e \circ g} { . }
}{Zu jedem
\mathl{g \in G}{} gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein
\mathl{h \in G}{} mit
\mathdisp {h \circ g=g \circ h =e} { . }
} }{Eine \definitionsverweis {Funktion}{}{} der Form \maabbeledisp {f} {K} {K } {x} { c x } {,} mit einem festen $c \in K$ heißt lineare Funktion. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {erste binomische Formel} {} für einen kommutativen Halbring.}{Der Satz über die Division mit Rest für die ganzen Zahlen.}{Der Satz über die Konvergenz einer Dezimalbruchfolge.}

}
{

\aufzaehlungdrei{In einem \definitionsverweis {kommutativen Halbring}{}{} $R$ gilt die erste binomische Formel, also die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a+b)^2 }
{ =} {a^2+2ab+b^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}{\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Sei $d$ eine fixierte positive natürliche Zahl.}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl $n$ eine eindeutig bestimmte ganze Zahl $q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl
\mathbed {r} {}
{0 \leq r \leq d-1} {}
{} {} {} {,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} {qd+r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}}{Es sei
\mathl{x \in K}{} ein Element in einem \definitionsverweis {archimedisch angeordneten Körper}{}{} $K$. Dann \definitionsverweis {konvergiert}{}{} die zugehörige \definitionsverweis {Dezimalbruchfolge}{}{}
\mathbed {(x_n)} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} gegen $x$.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Beschreibe mit Quantoren die Eigenschaft einer Abbildung \maabbdisp {F} {L} {M } {,} konstant zu sein.

}
{

Es gibt ein
\mathl{y \in M}{} derart, dass für alle
\mathl{x \in L}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x) }
{ =} {y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Symbolischer:
\mathdisp {\exists y \in M (\forall x \in L (F(x)=y))} { . }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2 (1+1)}
{

Wir betrachten auf der Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \{a,b,c,d \} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die durch die Tabelle %Daten für folgende Tabelle


\renewcommand{\leitzeilenull}{ $\star$ }

\renewcommand{\leitzeileeins}{ $a$ }

\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $b$ }

\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $c$ }

\renewcommand{\leitzeilevier}{ $d$ }

\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }

\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }

\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }

\renewcommand{\leitzeileacht}{ }

\renewcommand{\leitzeileneun}{ }

\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }

\renewcommand{\leitzeileelf}{ }

\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }


\renewcommand{\leitspaltenull}{ }

\renewcommand{\leitspalteeins}{ $a$ }

\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $b$ }

\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $c$ }

\renewcommand{\leitspaltevier}{ $d$ }

\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }

\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }

\renewcommand{\leitspalteacht}{ }

\renewcommand{\leitspalteneun}{ }

\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }



\renewcommand{\aeinsxeins}{ b }

\renewcommand{\aeinsxzwei}{ a }

\renewcommand{\aeinsxdrei}{ c }

\renewcommand{\aeinsxvier}{ a }

\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }

\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }

\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }

\renewcommand{\aeinsxacht}{ }

\renewcommand{\aeinsxneun}{ }

\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }

\renewcommand{\aeinsxelf}{ }

\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azweixeins}{ d }

\renewcommand{\azweixzwei}{ a }

\renewcommand{\azweixdrei}{ b }

\renewcommand{\azweixvier}{ b }

\renewcommand{\azweixfuenf}{ }

\renewcommand{\azweixsechs}{ }

\renewcommand{\azweixsieben}{ }

\renewcommand{\azweixacht}{ }

\renewcommand{\azweixneun}{ }

\renewcommand{\azweixzehn}{ }

\renewcommand{\azweixelf}{ }

\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreixeins}{ a }

\renewcommand{\adreixzwei}{ b }

\renewcommand{\adreixdrei}{ c }

\renewcommand{\adreixvier}{ c }

\renewcommand{\adreixfuenf}{ }

\renewcommand{\adreixsechs}{ }

\renewcommand{\adreixsieben}{ }

\renewcommand{\adreixacht}{ }

\renewcommand{\adreixneun}{ }

\renewcommand{\adreixzehn}{ }

\renewcommand{\adreixelf}{ }

\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierxeins}{ b }

\renewcommand{\avierxzwei}{ d }

\renewcommand{\avierxdrei}{ d }

\renewcommand{\avierxvier}{ d }

\renewcommand{\avierxfuenf}{ }

\renewcommand{\avierxsechs}{ }

\renewcommand{\avierxsieben}{ }

\renewcommand{\avierxacht}{ }

\renewcommand{\avierxneun}{ }

\renewcommand{\avierxzehn}{ }

\renewcommand{\avierxelf}{ }

\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfxeins}{ }

\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }

\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }

\renewcommand{\afuenfxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechsxeins}{ }

\renewcommand{\asechsxzwei}{ }

\renewcommand{\asechsxdrei}{ }

\renewcommand{\asechsxvier}{ }

\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechsxsechs}{ }

\renewcommand{\asechsxsieben}{ }

\renewcommand{\asechsxacht}{ }

\renewcommand{\asechsxneun}{ }

\renewcommand{\asechsxzehn}{ }

\renewcommand{\asechsxelf}{ }

\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asiebenxeins}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }

\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }

\renewcommand{\asiebenxvier}{ }

\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }

\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }

\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }

\renewcommand{\asiebenxacht}{ }

\renewcommand{\asiebenxneun}{ }

\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }

\renewcommand{\asiebenxelf}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aachtxeins}{ }

\renewcommand{\aachtxzwei}{ }

\renewcommand{\aachtxdrei}{ }

\renewcommand{\aachtxvier}{ }

\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }

\renewcommand{\aachtxsechs}{ }

\renewcommand{\aachtxsieben}{ }

\renewcommand{\aachtxacht}{ }

\renewcommand{\aachtxneun}{ }

\renewcommand{\aachtxzehn}{ }

\renewcommand{\aachtxelf}{ }

\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aneunxeins}{ }

\renewcommand{\aneunxzwei}{ }

\renewcommand{\aneunxdrei}{ }

\renewcommand{\aneunxvier}{ }

\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }

\renewcommand{\aneunxsechs}{ }

\renewcommand{\aneunxsieben}{ }

\renewcommand{\aneunxacht}{ }

\renewcommand{\aneunxneun}{ }

\renewcommand{\aneunxzehn}{ }

\renewcommand{\aneunxelf}{ }

\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }


\renewcommand{\azehnxeins}{ }

\renewcommand{\azehnxzwei}{ }

\renewcommand{\azehnxdrei}{ }

\renewcommand{\azehnxvier}{ }

\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\azehnxsechs}{ }

\renewcommand{\azehnxsieben}{ }

\renewcommand{\azehnxacht}{ }

\renewcommand{\azehnxneun}{ }

\renewcommand{\azehnxzehn}{ }

\renewcommand{\azehnxelf}{ }

\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\aelfxeins}{ }

\renewcommand{\aelfxzwei}{ }

\renewcommand{\aelfxdrei}{ }

\renewcommand{\aelfxvier}{ }

\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\aelfxsechs}{ }

\renewcommand{\aelfxsieben}{ }

\renewcommand{\aelfxacht}{ }

\renewcommand{\aelfxneun}{ }

\renewcommand{\aelfxzehn}{ }

\renewcommand{\aelfxelf}{ }

\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }

\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }

\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }

\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }

\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }

\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }

\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }

\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }

\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }

\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }

\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }

\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }

\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }


\tabelleleitvierxvier

gegebene Verknüpfung $\star$. \aufzaehlungzwei {Berechne
\mathdisp {b \star ( a \star (d \star a))} { . }
} {Besitzt die Verknüpfung $\star$ ein neutrales Element? }

}
{

\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b \star ( a \star (d \star a)) }
{ =} { b \star ( a \star b ) }
{ =} { b \star a }
{ =} { d }
{ } { }
} {}{}{.} } {Es gibt kein neutrales Element, da dann eine Zeile eine Wiederholung der Leitzeile sein müsste, was nicht der Fall ist. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Es sei
\mathl{a \in R}{} ein Element in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{.} Berechne
\mathl{20 a}{} mit maximal fünf Additionen.

}
{

Wir berechnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b }
{ \defeq} {a+a }
{ =} {2a }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c }
{ \defeq} {b+b }
{ =} {4a }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d }
{ \defeq} {c+c }
{ =} {8a }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e }
{ \defeq} {d+d }
{ =} {16 a }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{20 a }
{ =} { 16 a +4a }
{ =} { e +c }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Es sei $M$ eine Menge und $a,b \in M$ zwei verschiedene Elemente. Definiere durch eine Fallunterscheidung eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} von $M$ nach $M$, die \mathkor {} {a} {und} {b} {} vertauscht, und sonst alle Elemente unverändert lässt.

}
{

Wir definieren \maabbdisp {f} {M} {M } {} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ \defeq} { \begin{cases} b,\, \text{ wenn } x = a \, , \\ a,\, \text{ wenn } x = b \, , \\ x \text{ sonst} \, .\end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Diese Abbildung ist bijektiv und besitzt offenbar die gewünschte Vertauschungseigenschaft.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Beweise den Satz über die Eindeutigkeit der Multiplikation auf $\N$.

}
{Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es sei $M$ eine Menge und
\mathl{\preccurlyeq}{} eine \definitionsverweis {Ordnung}{}{} auf $M$. Zeige durch Induktion über $n \geq 2$ die Aussage: Wenn für Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n \in M}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1 }
{ \preccurlyeq} {a_2 }
{ \preccurlyeq} { \ldots }
{ \preccurlyeq} { a_{n-1} }
{ \preccurlyeq} { a_n }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_n }
{ \preccurlyeq} { a_1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt, dann sind alle $a_1 , \ldots , a_n$ gleich.

}
{

Der Induktionsanfang
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt unmittelbar aus der Antisymmetrie. Sei also die Aussage für ein gewisses $n \geq 2$ schon bewiesen und es liegen $n+1$ Elemente mit den Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1 }
{ \preccurlyeq} {a_2 }
{ \preccurlyeq} { \ldots }
{ \preccurlyeq} { a_{n} }
{ \preccurlyeq} { a_{n+1} }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{n+1} }
{ \preccurlyeq} { a_1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} vor. Wegen der Transitivität der Ordnung gilt dann auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{n} }
{ \preccurlyeq} { a_1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und damit gelten auch die Bedingungen in der Induktionsvoraussetzung. Somit ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1 }
{ =} {a_2 }
{ =} { \ldots }
{ =} { a_{n} }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{n} }
{ \preccurlyeq} { a_{n+1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und


\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{n+1} }
{ \preccurlyeq} { a_{1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} stimmt auch
\mathl{a_{n+1}}{} mit diesem Element überein.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Gabi Hochster hat sich wieder über Frau Maier-Sengupta geärgert. Sie möchte sagen \anfuehrung{Frau Maier-Sengupta ist unterbelichtet}{,} doch weil sie keinen neuen Vermerk kassieren will, ändert sie in dem Satz jeden Vokal \zusatzklammer {stellenweise} {} {} zu einem anderen Vokal \zusatzklammer {ohne Umlaute} {} {} und jeden Diphthong \zusatzklammer {für uns sind das au, ai und eu} {} {} zu einem anderen Diphthong. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?

}
{

In dem Satz kommen zwei Diphthonge und zehn \zusatzklammer {einzelne} {} {} Vokale vor. Für die Diphthonge gibt es jeweils zwei Änderungsmöglichkeiten, für die Vokale jeweils vier. Insgesamt gibt es also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^2 \cdot 4^{10} }
{ =} {4^{11} }
{ =} { 1024 \cdot 1024 \cdot 4 }
{ =} {4194304 }
{ } { }
} {}{}{} Möglichkeiten.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Binomialkoeffizienten}{}{} die rekursive Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n+1 } { k} }
{ =} { \binom { n } { k} + \binom { n } { k-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllen.

}
{

Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \binom { n } { k} + \binom { n } { k-1} }
{ =} { { \frac{ n! }{ (n-k)!k! } } + { \frac{ n! }{ (n-(k-1))!(k-1)! } } }
{ =} { { \frac{ n! }{ (n-k)!k! } } + { \frac{ n! }{ (n+1-k)!(k-1)! } } }
{ =} { { \frac{ (n+1-k) \cdot n! }{ (n+1-k)!k! } } + { \frac{ k \cdot n! }{ (n+1-k)!k ! } } }
{ =} { { \frac{ (n+1-k+k) \cdot n! }{ (n+1-k)!k ! } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ (n+1)! }{ (n+1-k)!k ! } } }
{ =} { \binom { n+1 } { k} }
{ } {}
{ } {}
}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es seien
\mathl{a,b,c,d}{} natürliche Zahlen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b }
{ =} {c+d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a-c }
{ =} {d-b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{

Aus der Annahme
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b }
{ >} {d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} folgt mit \zusatzklammer {der echt größer Version von} {} {} Fakt *****  (2) der Widerspruch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b }
{ >} {c+d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zur Voraussetzung. Wenn man zu der zu beweisenden Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a-c }
{ =} {d-b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} beidseitig
\mathl{c+b}{} addiert, so erhält man die wahre Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a-c) + (c+b) }
{ =} { a+b }
{ =} { c+d }
{ =} { (d-b) +(c+b) }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen der Abziehregel muss dann auch die in Frage stehende Gleichung wahr sein.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es seien
\mathl{a,b,c,d}{} positive natürliche Zahlen. Es sei $b$ ein Teiler von $a$ und $d$ ein Teiler von $c$. Ferner sei
\mathl{{ \frac{ c }{ d } }}{} ein Teiler von
\mathl{{ \frac{ a }{ b } }}{.} Zeige, dass dann $bc$ ein Teiler von $ad$ ist, und dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \, \, { \frac{ a }{ b } } \, \, }{ \, \, { \frac{ c }{ d } } \, \, } } }
{ =} { { \frac{ ad }{ bc } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{

Aufgrund der Voraussetzungen können wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a }
{ =} { br }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c }
{ =} {ds }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ b } } }
{ =} { t { \frac{ c }{ d } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit natürlichen Zahlen
\mathl{r,s,t}{} schreiben. Aufgrund der ersten und der dritten Zeile ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r }
{ =} { { \frac{ a }{ b } } }
{ =} { t { \frac{ c }{ d } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ad }
{ =} { brd }
{ =} { bd { \frac{ tc }{ d } } }
{ =} { t bc }
{ } { }
} {}{}{.} Also ist $ad$ ein Vielfaches von $bc$. Für den Quotienten gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ ad }{ bc } } }
{ =} { t }
{ =} { { \frac{ \, \, { \frac{ a }{ b } } \, \, }{ \, \, { \frac{ c }{ d } } \, \, } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen $d,n$ mit $d>0$ eindeutig bestimmte ganze Zahlen $k,s$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} {k d+s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - { \frac{ d }{ 2 } } }
{ <} { s }
{ \leq} { { \frac{ d }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{

Aufgrund der Division mit Rest in $\Z$ gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen $q$ und $r$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \leq} {r }
{ <} { d }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} { qd+r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r }
{ \leq} { { \frac{ d }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist die Existenz bewiesen. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r }
{ >} { { \frac{ d }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s }
{ \defeq} { r-d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ >} { s }
{ =} { r-d }
{ >} { { \frac{ d }{ 2 } } -d }
{ =} { - { \frac{ d }{ 2 } } }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} { qd+r }
{ =} { (q+1) d+r-d }
{ =} { (q+1) d+s }
{ } { }
} {}{}{} ergibt die Existenz. Aus zwei Darstellungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{kd+s }
{ =} {n }
{ =} {\ell d +t }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \geq }{t }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} { (k- \ell)d +s-t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq} {s-t }
{ <} { d }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und die Eindeutigkeit in der Division mit Rest sichert die Eindeutigkeit in der vorliegenden Form.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Bestimme den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} und gebe eine Darstellung des $\operatorname{ggT}$ von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} mittels dieser Zahlen an.

}
{

Der euklidische Algorithmus liefert:

\mathdisp {3146 = 2 \cdot 1515 + 116} { }

\mathdisp {1515 = 13 \cdot 116 + 7} { }

\mathdisp {116 = 16 \cdot 7 + 4} { }

\mathdisp {7 = 1 \cdot 4 + 3} { }

\mathdisp {4 = 1 \cdot 3 + 1} { . }
Die Zahlen \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} sind also teilerfremd und $1$ ist ihr größter gemeinsamer Teiler. Eine Darstellung der $1$ erhält man, indem man diese Division mit Rest rückwärts liest, also
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{1 }
{ =} {4 -1 \cdot 3 }
{ =} {4-(7- 1 \cdot 4) }
{ =} {2 \cdot 4-7 }
{ =} {2(116-16 \cdot 7) -7 }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {2 \cdot 116 - 33 \cdot 7 }
{ =} {2 \cdot 116 - 33 (1515- 13 \cdot 116) }
{ =} {-33 \cdot 1515 +(2 + 13 \cdot 33) \cdot 116 }
{ =} {-33 \cdot 1515 +431 \cdot 116 }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {-33 \cdot 1515 +431 (3146-2\cdot 1515) }
{ =} {-895 \cdot 1515 +431 \cdot 3146 }
{ } {}
{ } {}
}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen
\mathdisp {3^4 \cdot 5^2,\, 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^1 \cdot 7^1,\, 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^2} { . }
Die Ergebnisse sollen ausgerechnet vorliegen.

}
{

Nach Fakt ***** \zusatzklammer {angewendet auf drei Zahlen} {} {} ist der größte gemeinsame Teiler gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3^2 \cdot 5^1 }
{ =} { 45 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und das kleinste geminsame Vielfache ist gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 }
{ =} { 32 \cdot 81 \cdot 25 \cdot 7 }
{ =} { 2592 \cdot 175 }
{ =} { 453600 }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte \anfuehrung{Gaumenfreude}{} zu ernähren. Eine Tafel besitzt einen Energiewert von
\mathl{2300}{} kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist
\mathl{10000}{} kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag \zusatzklammer {gerundet auf zwei Nachkommastellen} {} {} und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?

}
{

Er muss pro Tag ca.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 10000 }{ 2300 } } }
{ =} { 4{,}35 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Tafeln essen, in der Woche also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{7 \cdot 4{,}35 }
{ =} { 30{,}45 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Tafeln.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Zeige, dass für die Differenz von rationalen Zahlen die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ b } } - { \frac{ c }{ d } } }
{ =} { { \frac{ ad-bc }{ bd } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{

Die Subtraktion ist die Addition mit dem Negativen, und das Negative von
\mathl{{ \frac{ c }{ d } }}{} ist
\mathl{{ \frac{ -c }{ d } }}{.} Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ b } } - { \frac{ c }{ d } } }
{ =} { { \frac{ a }{ b } } + { \frac{ -c }{ d } } }
{ =} { { \frac{ ad + (-c) b }{ bd } } }
{ =} { { \frac{ ad + (-cb) }{ bd } } }
{ =} {{ \frac{ ad -cb }{ bd } } }
} {}{}{,} wobei wir in den letzten beiden Schritten Vorzeichenregeln für ganze Zahlen verwendet haben.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

An der Tafel steht der Bruch
\mathdisp {{ \frac{ 541000 }{ 3520000 } }} { , }
es ist aber nicht klar, auf welches Stellensystem er sich bezieht. Welche Vereinfachung kann man auf jeden Fall vornehmen?

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 541000 }{ 3520000 } } }
{ =} { { \frac{ 541 }{ 3520 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} unabhängig vom Stellenwertsystem, da $n$ hintere Nullen bedeuten, dass ein Vielfaches von $b^n$ vorliegt, wenn $b$ die Basis des Systems bezeichnet, und dies kann man kürzen.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Beweise den Satz über die algebraische Struktur der Dezimalbrüche.

}
{

Die Brüche seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { a \cdot 10^k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { b \cdot 10^\ell }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{a,b \in \Z}{} und mit
\mathl{k,\ell \in \Z}{.} Wegen der Symmetrie können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \geq }{\ell }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} annehmen. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a \cdot 10^k + b \cdot 10^\ell }
{ =} { a \cdot 10^{k-\ell} \cdot 10^\ell + b \cdot 10^\ell }
{ =} { { \left( a \cdot 10^{k-\ell} + b \right) } \cdot 10^\ell }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} wieder von der gleichen Bauart, also ein Dezimalbruch. Für das Produkt ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a \cdot 10^k \cdot b \cdot 10^\ell }
{ =} { a \cdot b \cdot 10^{k+\ell} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die anderen Behauptungen sind ebenfalls klar.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{6 (3+2+1)}
{

In einer Äpfelpackung befinden sich stets sechs Äpfel, die zusammen ein Kilo wiegen sollen, wobei eine Toleranz zwischen $995$ und
\mathl{1005}{} Gramm erlaubt ist. Der kleinste Apfel in der Packung muss mindestens $90$ Prozent des Gewichts des größten Apfels der Packung haben. \aufzaehlungdrei{Wie schwer \zusatzklammer {in gerundeten Gramm} {} {} kann ein Apfel in einer Packung maximal sein? }{Wie leicht \zusatzklammer {in gerundeten Gramm} {} {} kann ein Apfel in einer Packung minimal sein? }{Um wie viel Prozent ist der größtmögliche Apfel schwerer als der kleinstmögliche Apfel? }

}
{

Die Gewichte der Äpfel seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 }
{ \leq} {x_2 }
{ \leq} {x_3 }
{ \leq} {x_4 }
{ \leq} {x_5 }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ \leq} {x_6 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{} und die Bedingungen sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{995 }
{ \leq} {x_1 +x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 }
{ \leq} {1005 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 }
{ \geq} {0{,}9 x_6 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Wenn $x_6$ besonders groß werden soll, so hat man die besten Chancen beim Gesamtgewicht $1005$ Gramm und wenn die fünf übrigen Äpfel alle möglichst klein sind. Daher setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 }
{ =} {x_2 }
{ =} {x_3 }
{ =} {x_4 }
{ =} {x_5 }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 }
{ =} {0{,}9x_6 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} an. Dies führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1005 }
{ =} { 5x_1 + x_6 }
{ =} { 5 \cdot 0{,}9 x_6 +x_6 }
{ =} {5{,}5 x_6 }
{ } { }
} {}{}{.} Division führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1005 :5{,}5 }
{ =} { 182{,}72.. }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also gerundet
\mathl{183}{} Gramm. 90 Prozent davon sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{182{,}72 - 18{,}27 }
{ =} {164{,}45 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die anderen Äpfel der Packung wiegen also $164$ Gramm. }{Der analoge Ansatz führt auf das Gesamtgewicht $995$ Gramm,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2 }
{ =} {x_3 }
{ =} {x_4 }
{ =} {x_5 }
{ =} {x_6 }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 }
{ =} {0{,}9 x_6 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{995 }
{ =} { x_1 + 5x_6 }
{ =} { 5{,}9 x_6 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Division ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{995 : 5{,}9 }
{ =} { 168{,}64 .. }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 }
{ =} { 168{,}64 - 16{,}86 }
{ =} { 151{,}78 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Der leichteste Apfel hat also das Gewicht $152$ Gramm, die anderen fünf Äpfel in der Packung wiegen
\mathl{169}{} Gramm. }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 183: 152 }
{ =} {1{,}2039 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} der größtmögliche Apfel in einer Packung ist also $20$ Prozent größer als der kleinstmögliche Apfel in einer Packung. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Man gebe explizit ein $m$ mit der Eigenschaft an, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1,03^n }
{ \geq} { n^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{

Mit dem allgemeinen binomischen Lehrsatz ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 1{,}03^n }
{ =} {( 1+ 0{,}03)^n }
{ =} { 1+ n \cdot 0{,}03 + \binom { n } { 2} 0{,}03^2 + \binom { n } { 3} 0{,}03^3 + \ldots }
{ \geq} { \binom { n } { 3} 0{,}03^3 }
{ =} { { \frac{ n(n-1)(n-2) }{ 6 } } \cdot { \frac{ 27 }{ 1000000 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { n^2 \cdot { \left( { \frac{ (n-1)(n-2) }{ 6 n } } \cdot { \frac{ 27 }{ 1000000 } } \right) } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Dies soll
\mathl{\geq n^2}{} werden, was man dadurch erreichen kann, dass der Klammerausdruck rechts
\mathl{\geq 1}{} wird. Dieser Ausdruck ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ (n-1)(n-2) }{ 6 n } } \cdot { \frac{ 27 }{ 1000000 } } }
{ =} { { \frac{ n^2 - 3n +2 }{ n } } \cdot { \frac{ 9 }{ 2000000 } } }
{ =} { { \left( n -3 + { \frac{ 2 }{ n } } \right) } \cdot { \frac{ 9 }{ 2000000 } } }
{ \geq} { { \left( n -3 \right) } \cdot { \frac{ 9 }{ 2000000 } } }
{ } { }
} {} {}{.} Die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( n -3 \right) } \cdot { \frac{ 9 }{ 2000000 } } }
{ \geq} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} wird zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq} { { \frac{ 2000000 }{ 9 } } +3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} was jedenfalls bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ \geq} { 300000 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt ist. Man kann also beispielsweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m }
{ =} {300 000 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nehmen.

}