Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/13/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 2 2 2 2 4 4 2 4 3 4 4 3 3 2 2 1 3 6 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die leere Menge.
  2. Die Identität auf einer Menge .
  3. Die Multiplikation von natürlichen Zahlen .
  4. Das Minimum zu einer Teilmenge .
  5. Eine Gruppe.
  6. Eine lineare Funktion auf einem Körper .


Lösung

  1. Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.
  2. Die Identität auf ist die Abbildung von nach , die jedes Element auf sich selbst abbildet.
  3. Das Produkt ist definiert als die -fache Summe der Zahl mit sich selbst.
  4. Das Element heißt das Minimum von , wenn ist und wenn für alle gilt.
  5. Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer Verknüpfung

    heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

    1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle gilt
    2. Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle gilt
    3. Zu jedem gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein mit
  6. Eine Funktion der Form

    mit einem festen heißt lineare Funktion.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die erste binomische Formel für einen kommutativen Halbring.
  2. Der Satz über die Division mit Rest für die ganzen Zahlen.
  3. Der Satz über die Konvergenz einer Dezimalbruchfolge.


Lösung

  1. In einem kommutativen Halbring gilt die erste binomische Formel, also die Beziehung
  2. Sei eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl eine eindeutig bestimmte ganze Zahl und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl , , mit
  3. Es sei ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper . Dann konvergiert die zugehörige Dezimalbruchfolge , , gegen .


Aufgabe (2 Punkte)

Beschreibe mit Quantoren die Eigenschaft einer Abbildung

konstant zu sein.


Lösung

Es gibt ein derart, dass für alle die Gleichheit

gilt. Symbolischer:


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

die durch die Tabelle

gegebene Verknüpfung .

  1. Berechne
  2. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?


Lösung

  1. Es ist
  2. Es gibt kein neutrales Element, da dann eine Zeile eine Wiederholung der Leitzeile sein müsste, was nicht der Fall ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Element in einem kommutativen Ring. Berechne mit maximal fünf Additionen.


Lösung

Wir berechnen

Dann ist


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine Menge und zwei verschiedene Elemente. Definiere durch eine Fallunterscheidung eine Bijektion von nach , die und vertauscht, und sonst alle Elemente unverändert lässt.


Lösung

Wir definieren

durch

Diese Abbildung ist bijektiv und besitzt offenbar die gewünschte Vertauschungseigenschaft.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Eindeutigkeit der Multiplikation auf .


Lösung

Es seien und zwei Verknüpfungen auf , die beide diese Eigenschaften erfüllen. Wir müssen

für alle zeigen. Wir führen Induktion nach . Der Induktionsanfang ist klar, da wegen der ersten charakteristischen Eigenschaft

ist. Sei die Aussage für ein gewisses schon bewiesen. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der zweiten charakteristischen Eigenschaft


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Menge und eine Ordnung auf . Zeige durch Induktion über die Aussage: Wenn für Elemente die Beziehung

und

gilt, dann sind alle gleich.


Lösung

Der Induktionsanfang folgt unmittelbar aus der Symmetrie. Sei also die Aussage für ein gewisses schon bewiesen und es liegen Elemente mit den Abschätzungen

und

vor. Wegen der Transitivität der Ordnung gilt dann auch

und damit gelten auch die Bedingungen in der Induktionsvoraussetzung. Somit ist also

Wegen

und

stimmt auch mit diesem Element überein.


Aufgabe (2 Punkte)

Gabi Hochster hat sich wieder über Frau Maier-Sengupta geärgert. Sie möchte sagen „Frau Maier-Sengupta ist unterbelichtet“, doch weil sie keinen neuen Vermerk kassieren will, ändert sie in dem Satz jeden Vokal (stellenweise) zu einem anderen Vokal (ohne Umlaute) und jeden Diphthong (für uns sind das au, ai und eu) zu einem anderen Diphthong. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?


Lösung

In dem Satz kommen zwei Diphthonge und zehn (einzelne) Vokale vor. Für die Diphthonge gibt es jeweils zwei Änderungsmöglichkeiten, für die Vokale jeweils vier. Insgesamt gibt es also

Möglichkeiten.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

erfüllen.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien natürliche Zahlen mit

Es sei . Zeige, dass dann ist und dass

gilt.


Lösung

Aus der Annahme

folgt mit (der echt größer Version von) Fakt *****  (2) der Widerspruch

zur Voraussetzung. Wenn man zu der zu beweisenden Gleichheit

beidseitig addiert, so erhält man die wahre Gleichung

Wegen der Abziehregel muss dann auch die in Frage stehende Gleichung wahr sein.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien positive natürliche Zahlen. Es sei ein Teiler von und ein Teiler von . Ferner sei ein Teiler von . Zeige, dass dann ein Teiler von ist, und dass die Beziehung

gilt.


Lösung

Aufgrund der Voraussetzungen können wir

und

mit natürlichen Zahlen schreiben. Aufgrund der ersten und der dritten Zeile ist

Somit ist

Also ist ein Vielfaches von . Für den Quotienten gilt


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen mit eindeutig bestimmte ganze Zahlen mit

und mit

gibt.


Lösung

Aufgrund der Division mit Rest in gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen und mit

mit

Bei

ist die Existenz bewiesen. Bei

setzt man

Es ist dann

und

ergibt die Existenz. Aus zwei Darstellungen

mit ergibt sich

mit

und die Eindeutigkeit in der Division mit Rest sichert die Eindeutigkeit in der vorliegenden Form.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und und gebe eine Darstellung des von und mittels dieser Zahlen an.


Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert:

Die Zahlen und sind also teilerfremd und ist ihr größter gemeinsamer Teiler. Eine Darstellung der erhält man, indem man diese Division mit Rest rückwärts liest, also


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen

Die Ergebnisse sollen ausgerechnet vorliegen.


Lösung

Nach Fakt ***** (angewendet auf drei Zahlen) ist der größte gemeinsame Teiler gleich

und das kleinste geminsame Vielfache ist gleich


Aufgabe (2 Punkte)

Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte „Gaumenfreude“ zu ernähren. Eine Tafel besitzt einen Energiewert von kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag (gerundet auf zwei Nachkommastellen) und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?


Lösung

Er muss pro Tag ca.

Tafeln essen, in der Woche also

Tafeln.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass für die Differenz von rationalen Zahlen die Gleichheit

gilt.


Lösung

Die Subtraktion ist die Addition mit dem Negativen, und das Negative von ist . Also ist

wobei wir in den letzten beiden Schritten Vorzeichenregeln für ganze Zahlen verwendet haben.


Aufgabe (1 Punkt)

An der Tafel steht der Bruch

es ist aber nicht klar, auf welches Stellensystem er sich bezieht. Welche Vereinfachung kann man auf jeden Fall vornehmen?


Lösung

Es ist

unabhängig vom Stellenwertsystem, da hintere Nullen bedeuten, dass ein Vielfaches von vorliegt, wenn die Basis des Systems bezeichnet, und dies kann man kürzen.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die algebraische Struktur der Dezimalbrüche.


Lösung

Die Brüche seien

und

mit und mit . Wegen der Symmetrie können wir annehmen. Dann ist

wieder von der gleichen Bauart, also ein Dezimalbruch. Für das Produkt ist

Die anderen Behauptungen sind ebenfalls klar.


Aufgabe (6 (3+2+1) Punkte)

In einer Äpfelpackung befinden sich stets sechs Äpfel, die zusammen ein Kilo wiegen sollen, wobei eine Toleranz zwischen und Gramm erlaubt ist. Der kleinste Apfel in der Packung muss mindestens Prozent des Gewichts des größten Apfels der Packung haben.

  1. Wie schwer (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung maximal sein?
  2. Wie leicht (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung minimal sein?
  3. Um wie viel Prozent ist der größtmögliche Apfel schwerer als der kleinstmögliche Apfel?


Lösung

Die Gewichte der Äpfel seien

und die Bedingungen sind

und

  1. Wenn besonders groß werden soll, so hat man die besten Chancen beim Gesamtgewicht Gramm und wenn die fünf übrigen Äpfel alle möglichst klein sind. Daher setzen wir

    und

    an. Dies führt auf

    Division führt auf

    also gerundet Gramm. 90 Prozent davon sind

    Die anderen Äpfel der Packung wiegen also Gramm.

  2. Der analoge Ansatz führt auf das Gesamtgewicht Gramm,

    und

    Dann ist

    Division ergibt

    und somit

    Der leichteste Apfel hat also das Gewicht Gramm, die anderen fünf Äpfel in der Packung wiegen Gramm.

  3. Es ist

    der größtmögliche Apfel in einer Packung ist also Prozent größer als der kleinstmögliche Apfel in einer Packung.


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe explizit ein mit der Eigenschaft an, dass für alle die Abschätzung

gilt.


Lösung

Mit dem allgemeinen binomischen Lehrsatz ist

Dies soll werden, was man dadurch erreichen kann, dass der Klammerausdruck rechts wird. Dieser Ausdruck ist

Die Bedingung

wird zu

was jedenfalls bei

erfüllt ist. Man kann also beispielsweise

nehmen.