Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/21/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	5	4	8	2	4	3	7	2	1	1	2	5	7	3	62

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine endliche Menge ${}M$ mit ${}n$ Elementen.
2. Der Graph zu einer Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.
3. Das kleinste gemeinsame Vielfache zu einer Menge von natürlichen Zahlen

   $a_{1},\ldots ,a_{k}.$

4. Die Nachfolgerabbildung auf den ganzen Zahlen.
5. Ein Körper.
6. Die Gaußklammer einer rationalen Zahl ${}x$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.
2. Das allgemeine Distributivgesetz für einen kommutativen Halbring.
3. Der Satz über das Wachstumsverhalten der (ganzzahligen) Exponentialfunktionen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Im ${}n$-Land gibt es Münzen zum Nennwert ${}1,n,n+1$ (mit ${}n\geq 2$). Zeige, dass die minimale Darstellung eines Geldbetrages im Allgemeinen nicht eindeutig ist.

Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)

1. Löse das folgende Minisudoku

   ${\begin{pmatrix}-&-&2&-\\3&-&-&4\\-&-&-&-\\-&4&-&1\end{pmatrix}}.$

2. Begründe, dass das Minisudoku aus (1) nur eine Lösung besitzt.
3. Welche mathematischen Beweisverfahren finden sich als typische Argumentationsschemata beim Lösen eines Sudokus wieder?

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?

1. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g\}$,

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
   ${}\varphi (x)$	${}a$	${}e$	${}f$	${}h$	${}e$	${}a$	${}c$	${}d$

2. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}5$	${}6$	${}7$
   ${}\varphi (x)$	${}c$	${}e$	${}f$	${}d$	${}e$	${}a$	${}b$	${}a$

3. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$
   ${}\varphi (x)$	${}c$	${}e$	${}f$	${}d$	${}e$	${}b$	${}a$

4. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,

   ${}x$	${}2$	${}1$	${}4$	${}3$	${}6$	${}5$	${}8$	${}7$
   ${}\varphi (x)$	${}h$	${}b$	${}f$	${}d$	${}e$	${}c$	${}g$	${}a$

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Addition und endliche Mengen.

Aufgabe (2 Punkte)

In die Klasse kommt ein neues Kind. Es stellt sich heraus, dass es auf die Frage, ob ${}13$ oder ob ${}17$ größer ist, keine Antwort weiß. Die Lehrkraft möchte genauer wissen, was das Kind über die Ordnung weiß oder nicht weiß, um es besser fördern zu können. Betrachte die folgenden möglichen Nachfragen der Lehrkraft.

1. „Weißt du, ob ${}44$ oder ob ${}49$ größer ist?“
2. „Weißt du, ob ${}13$ oder ob ${}14$ größer ist?“
3. „Weißt du, ob ${}3$ oder ob ${}7$ größer ist?“
4. „Weißt du, ob ${}1$ oder ob ${}10$ größer ist?“
5. (nachdem die Lehrkraft zwei Mengen mit unterschiedlich vielen Plättchen hingelegt hat) „Welche der beiden Mengen ist größer?“

An welchem mathematischen Sachverhalt orientiert sich vermutlich die Lehrkraft bei den einzelnen Nachfragen?

Aufgabe * (4 Punkte)

Mustafa Müller schreibt die natürlichen Zahlen

$0,1,2,3,\ldots ,998,999,1000$

hintereinander auf. Wie oft kommt dabei die Ziffern ${}0,1,2,\ldots ,9$ vor? Wie viele Kommata setzt er?

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Gesamtmenge aller Finger und aller Zehen eines Menschen. Man gebe für jede Faktorzerlegung

${}20=a\cdot b\,$

eine möglichst natürliche Zerlegung dieser ${}20$ Körperteile in ${}a$ Teilmengen mit je ${}b$ Elemente an.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen kommutativen Halbring.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.

${}2^{7}+17^{3}=71^{2}\,.$

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von

${\binom {15}{5}}.$

Aufgabe * (1 Punkt)

Betrachte die Gleichungskette

${}{\begin{aligned}58907&=5\cdot 10^{4}+8\cdot 10^{3}+9\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+7\cdot 10^{0}\\&=5\cdot 10^{4}+8\cdot 10^{3}+9\cdot 10^{2}+7\cdot 10^{0}\\&=5\cdot 10^{4}+8\cdot 10^{3}+9\cdot 10^{2}+7\cdot 1\\&=0\cdot 10^{5}+5\cdot 10^{4}+8\cdot 10^{3}+9\cdot 10^{2}+7\cdot 1\\&=9\cdot 10^{2}+5\cdot 10^{4}+0\cdot 10^{2}+7\cdot 1+8\cdot 10^{3}\\&=95078.\end{aligned}}$

Welche Gleichungen sind korrekt, welche nicht?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}N$ die Nachfolgerabbildung, ${}V$ die Vorgängerabbildung und ${}-$ die Negationsabbildung auf den ganzen Zahlen. Berechne

${\left(-\circ V\circ V\circ -\circ N\circ V\circ -\circ -\circ N\circ -\circ V\right)}(-3).$

Aufgabe (5 (1+2+1+1) Punkte)

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl ${}\geq 2$. Unter einer Teilerkette von ${}n$ verstehen wir eine Folge ${}n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}$ von Teilern von ${}n$, wobei stets ${}n_{i}$ die folgende Zahl ${}n_{i+1}$ teilt, aber nicht mit dieser übereinstimmt.

a) Finde eine Teilerkette von ${}20$, in der genau vier Zahlen stehen.

b) Charakterisiere, in Abhängigkeit von der Primfaktorzerlegung von ${}n$, wie lange die maximalen Teilerketten sind.

c) Für welche natürliche Zahlen gibt es nur eine Teilerkette maximaler Länge?

d) Wie viele Teilerketten maximaler Länge besitzt ${}100$?

Aufgabe * (7 (1+3+3) Punkte)

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall ${}[0,1]$ aus. Das Intervall wird in zehn gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das achte Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in zehn gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das achte Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, entsteht (${}I_{0}$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird.
2. Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, ausdrückt.
3. Es gibt genau eine rationale Zahl ${}c$, die in jedem Intervall ${}I_{n}$ enthalten ist. Bestimme ${}c$ als Bruch.

Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere, warum die Formulierung „Die ${}0$ teilt die ${}0$, man kann die ${}0$ aber nicht durch die ${}0$ teilen“ sich zwar paradox anhört, aber korrekt ist.