Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/21/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 5 0 4 2 0 0 3 0 2 1 1 1 2 5 7 3 0 44



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine endliche Menge mit Elementen.
  2. Der Graph zu einer Abbildung .
  3. Das kleinste gemeinsame Vielfache zu einer Menge von natürlichen Zahlen
  4. Die Nachfolgerabbildung auf den ganzen Zahlen.
  5. Ein Körper.
  6. Die Gaußklammer einer rationalen Zahl .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name


Aufgabe * (2 Punkte)

Im -Land gibt es Münzen zum Nennwert (mit ). Zeige, dass die minimale Darstellung eines Geldbetrages im Allgemeinen nicht eindeutig ist.


Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)

  1. Löse das folgende Minisudoku
  2. Begründe, dass das Minisudoku aus (1) nur eine Lösung besitzt.
  3. Welche mathematischen Beweisverfahren finden sich als typische Argumentationsschemata beim Lösen eines Sudokus wieder?


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?

  1. , ,
  2. , ,
  3. , ,
  4. , ,


Aufgabe (2 Punkte)

In die Klasse kommt ein neues Kind. Es stellt sich heraus, dass es auf die Frage, ob oder ob größer ist, keine Antwort weiß. Die Lehrkraft möchte genauer wissen, was das Kind über die Ordnung weiß oder nicht weiß, um es besser fördern zu können. Betrachte die folgenden möglichen Nachfragen der Lehrkraft.

  1. „Weißt du, ob oder ob größer ist?“
  2. „Weißt du, ob oder ob größer ist?“
  3. „Weißt du, ob oder ob größer ist?“
  4. „Weißt du, ob oder ob größer ist?“
  5. (nachdem die Lehrkraft zwei Mengen mit unterschiedlich vielen Plättchen hingelegt hat) „Welche der beiden Mengen ist größer?“

An welchem mathematischen Sachverhalt orientiert sich vermutlich die Lehrkraft bei den einzelnen Nachfragen?


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Gesamtmenge aller Finger und aller Zehen eines Menschen. Man gebe für jede Faktorzerlegung

eine möglichst natürliche Zerlegung dieser Körperteile in Teilmengen mit je Elemente an.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.


Aufgabe * (1 Punkt)

Es seien Elemente in einem kommutativen Halbring . Berechne


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von


Aufgabe * (1 Punkt)

Betrachte die Gleichungskette

Welche Gleichungen sind korrekt, welche nicht?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei die Nachfolgerabbildung, die Vorgängerabbildung und die Negationsabbildung auf den ganzen Zahlen. Berechne


Aufgabe * (5 (0.5+0.5+1+1+2) Punkte)

Wir betrachten auf die Verknüpfung

  1. Was bedeutet die Verknüpfung für einstellige Ziffern?
  2. Ist die Verknüpfung kommutativ?
  3. Ist die Verknüpfung assoziativ?
  4. Gelten die Distributivgesetze

    und

  5. Es bezeichne nun zu das Symbol diejenige Zahl im Dezimalsystem, die aus Einsen besteht. Zeige


Aufgabe * (7 (1+3+3) Punkte)

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall aus. Das Intervall wird in zehn gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das achte Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in zehn gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das achte Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen , , entsteht ( ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

  1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird.
  2. Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls , , ausdrückt.
  3. Es gibt genau eine rationale Zahl , die in jedem Intervall enthalten ist. Bestimme als Bruch.


Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere, warum die Formulierung „Die teilt die , man kann die aber nicht durch die teilen“ sich zwar paradox anhört, aber korrekt ist.


Aufgabe (0 Punkte)